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東京大学 2024年理系第3問解説

方針・初手

まず、対称移動を繰り返して得られる点をすべて列挙する。すると点 $P$ は有限個の点の間を移るだけであることが分かる。

その上で、各点にいる確率の漸化式を立てる。対称な位置にある点どうしの確率が一致することを用いて状態をまとめると、(2), (3) を整理しやすい。

解法1

(1)

題意の4種類の対称移動を繰り返して得られる点は

$$ (2, 1), \ (-2, 1), \ (-2, -1), \ (2, -1), \ (1, 2), \ (-1, 2), \ (-1, -2), \ (1, -2) $$

の8点である。

(2)

(1) で得た8点を

$$ \begin{aligned} A_1(2, 1), &\quad A_2(-2, 1), \quad A_3(-2, -1), \quad A_4(2, -1) \\ B_1(1, 2), &\quad B_2(-1, 2), \quad B_3(-1, -2), \quad B_4(1, -2) \end{aligned} $$

とおく。最初から $n$ 秒後に点 $X$ にいる確率を $P_n(X)$ と表す。

$n+1$ 秒後に点 $A_1$ にいるのは、$n$ 秒後に $A_4, A_2, B_1, B_3$ のいずれかにいる場合であるから、

$$ P_{n+1}(A_1) = \frac{1}{3} P_n(A_4) + \frac{1}{3} P_n(A_2) + \frac{1}{6} P_n(B_1) + \frac{1}{6} P_n(B_3) $$

である。同様に、

$$ P_{n+1}(A_3) = \frac{1}{3} P_n(A_2) + \frac{1}{3} P_n(A_4) + \frac{1}{6} P_n(B_3) + \frac{1}{6} P_n(B_1) $$

となる。右辺は同じであるから、

$$ P_{n+1}(A_1) = P_{n+1}(A_3) $$

である。よって任意の正の整数 $n$ に対して、最初から $n$ 秒後に点 $(2,1)$ にいる確率と点 $(-2,-1)$ にいる確率は等しい。

(3)

同様にして

$$ P_{n+1}(A_2) = P_{n+1}(A_4), \quad P_{n+1}(B_1) = P_{n+1}(B_3), \quad P_{n+1}(B_2) = P_{n+1}(B_4) $$

が成り立つ。そこで

$$ \begin{aligned} x_n &= P_n(A_1) = P_n(A_3) \\ y_n &= P_n(A_2) = P_n(A_4) \\ z_n &= P_n(B_1) = P_n(B_3) \\ w_n &= P_n(B_2) = P_n(B_4) \end{aligned} $$

とおくと、

$$ \begin{aligned} x_{n+1} &= \frac{2}{3} y_n + \frac{1}{3} z_n \\ y_{n+1} &= \frac{2}{3} x_n + \frac{1}{3} w_n \\ z_{n+1} &= \frac{1}{3} x_n + \frac{2}{3} w_n \\ w_{n+1} &= \frac{1}{3} y_n + \frac{2}{3} z_n \end{aligned} $$

を得る。

ここで

$$ S_n = x_n + w_n, \quad T_n = y_n + z_n $$

とおくと、

$$ S_{n+1} = T_n, \quad T_{n+1} = S_n $$

である。$n=1$ のとき、

$$ x_1 = 0, \quad y_1 = \frac{1}{3}, \quad z_1 = \frac{1}{6}, \quad w_1 = 0 $$

より

$$ S_1 = 0, \quad T_1 = \frac{1}{2} $$

である。したがって、

$$ n \text{ が奇数のとき } S_n = 0, \quad n \text{ が偶数のとき } S_n = \frac{1}{2} $$

となる。特に $n$ が奇数のとき $x_n = 0$ である。

次に $n$ を偶数とする。このとき $w_n = \dfrac{1}{2} - x_n$ であるから、

$$ \begin{aligned} x_{n+2} &= \frac{2}{3} y_{n+1} + \frac{1}{3} z_{n+1} \\ &= \frac{2}{3} \left( \frac{2}{3} x_n + \frac{1}{3} w_n \right) + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3} x_n + \frac{2}{3} w_n \right) \\ &= \frac{5}{9} x_n + \frac{4}{9} w_n \\ &= \frac{5}{9} x_n + \frac{4}{9} \left( \frac{1}{2} - x_n \right) \\ &= \frac{1}{9} x_n + \frac{2}{9} \end{aligned} $$

となる。よって

$$ x_{n+2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{9} \left( x_n - \frac{1}{4} \right) $$

である。

$n = 2k$ とおき $X_k = x_{2k}$ とおくと、まず

$$ x_2 = \frac{2}{3} y_1 + \frac{1}{3} z_1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{18} $$

より

$$ X_1 = \frac{5}{18} $$

である。したがって

$$ X_k - \frac{1}{4} $$

は初項 $\dfrac{1}{36}$、公比 $\dfrac{1}{9}$ の等比数列であるから、

$$ X_k - \frac{1}{4} = \frac{1}{36} \left( \frac{1}{9} \right)^{k-1} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{9} \right)^k $$

となる。よって