数学A 条件付き確率 問題 11 解説

方針・初手

復元抽出では各回の確率が変わらず独立である。一方，非復元抽出では前に出た玉によって袋の中身が変わるので，組合せまたは条件付き確率で処理する。

赤玉を $R$，白玉を $W$ とすると，はじめの赤玉の割合は

$$ \frac{4}{10}=\frac{2}{5} $$

である。

解法1

（1） もとに戻す場合，各回の結果は独立であり，毎回

$$ P(R)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5},\qquad P(W)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5} $$

である。

(1)(i) 1回目と3回目に赤玉が出ればよく，2回目，4回目，5回目は何色でもよい。したがって

$$ P=\frac{2}{5}\cdot \frac{2}{5}=\frac{4}{25} $$

である。

(1)(ii) 5回目に3度目の赤玉が出るとは，1回目から4回目までに赤玉がちょうど2回出て，5回目に赤玉が出るということである。

1回目から4回目までのうち，赤玉が出る2回の選び方は ${}_{4}\mathrm{C}_{2}$ 通りであるから，

$$ P={}_{4}\mathrm{C}_{2}\left(\frac{2}{5}\right)^2\left(\frac{3}{5}\right)^2\cdot \frac{2}{5} $$

となる。よって

$$ P=6\cdot \frac{4}{25}\cdot \frac{9}{25}\cdot \frac{2}{5} =\frac{432}{3125} $$

である。

（2） もとに戻さない場合，10回で袋の中の玉をすべて取り出すことになる。

(2)(i) 3回目までに取り出した玉の個数は合計3個である。赤玉と白玉の個数の差が1であるのは，赤玉と白玉の個数が

$$ (赤玉,白玉)=(1,2),(2,1) $$

のいずれかの場合である。

3個取り出す全体の場合の数は

$$ {}_{10}\mathrm{C}_{3} $$

である。

赤玉1個，白玉2個の場合の数は

$$ {}_{4}\mathrm{C}_{1}{}_{6}\mathrm{C}_{2} $$

赤玉2個，白玉1個の場合の数は

$$ {}_{4}\mathrm{C}_{2}{}_{6}\mathrm{C}_{1} $$

である。したがって求める確率は

$$ \frac{{}_{4}\mathrm{C}_{1}{}_{6}\mathrm{C}_{2}+{}_{4}\mathrm{C}_{2}{}_{6}\mathrm{C}_{1}}{{}_{10}\mathrm{C}_{3}} $$

である。計算すると，

$$ \begin{aligned} \frac{4\cdot 15+6\cdot 6}{120} &= \frac{60+36}{120} \\ \frac{96}{120} \\ \frac{4}{5} \end{aligned} $$

となる。

(2)(ii) もとに戻さずに10個すべての玉を順に並べると考える。10個の位置のうち，赤玉が入る位置は4個であり，各位置が赤玉である確率は等しい。

したがって，7回目に赤玉が出る確率は

$$ \frac{4}{10}=\frac{2}{5} $$

である。

(2)(iii) 3回目に赤玉が出るとわかっている。この時点で，その赤玉1個はすでに使われたものとして考えられる。

残り9個の玉のうち，赤玉は3個，白玉は6個である。4回目は，この残り9個の中から1個取り出すことに対応するから，

$$ P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} $$

である。

解説

復元抽出では，各回の確率が常に同じで独立であるため，二項分布の考え方をそのまま使える。特に「5回目に3度目の赤玉」とある場合は，「最初の4回で赤玉が2回，5回目が赤玉」と分解するのが基本である。

非復元抽出では，各回の結果は独立ではない。ただし，「何回目が赤玉か」という問題は，10個の玉を順に並べると考えると，各位置が対称になるため簡潔に処理できる。また，条件付き確率では，すでにわかっている情報を袋の中身に反映させて考えることが重要である。

答え

(1)(i)

$$ \frac{4}{25} $$

(1)(ii)

$$ \frac{432}{3125} $$

(2)(i)

$$ \frac{4}{5} $$

(2)(ii)

$$ \frac{2}{5} $$

(2)(iii)

$$ \frac{1}{3} $$