数学A 期待値 問題 2 解説

方針・初手

勝敗は「表の枚数」だけで決まるので、$A$ の表の枚数を $X$、$B$ の表の枚数を $Y$ とおく。すると

$$ X\sim B\left(4,\frac12\right),\qquad Y\sim B\left(3,\frac12\right) $$

である。まず $X,Y$ の分布を表にし、$X>Y,\ X<Y,\ X=Y$ の確率を計算する。

解法1

$A$ の表の枚数 $X$ の分布は

$$ P(X=k)=\frac{{}_{4}\mathrm{C}_{k}}{2^4}\qquad (k=0,1,2,3,4) $$

であるから、

$$ \begin{array}{c|ccccc} k&0&1&2&3&4\\ \hline P(X=k)&\frac1{16}&\frac4{16}&\frac6{16}&\frac4{16}&\frac1{16} \end{array} $$

また、$B$ の表の枚数 $Y$ の分布は

$$ P(Y=k)=\frac{{}_{3}\mathrm{C}_{k}}{2^3}\qquad (k=0,1,2,3) $$

であるから、

$$ \begin{array}{c|cccc} k&0&1&2&3\\ \hline P(Y=k)&\frac1{8}&\frac3{8}&\frac3{8}&\frac1{8} \end{array} $$

まず、引き分けは $X=Y$ の場合である。ただし $Y$ は $0$ から $3$ までなので、

$$ \begin{aligned} P(X=Y) &=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=3)\\ &=\frac1{16}\cdot\frac1{8} +\frac4{16}\cdot\frac3{8} +\frac6{16}\cdot\frac3{8} +\frac4{16}\cdot\frac1{8}\\ &=\frac{1+12+18+4}{128}\\ &=\frac{35}{128}. \end{aligned} $$

次に、$A$ が勝つ確率は $X>Y$ の確率である。$X$ の値ごとに分けると、

$$ \begin{aligned} P(X>Y) &=P(X=1)P(Y=0)\\ &\quad +P(X=2)P(Y\leqq 1)\\ &\quad +P(X=3)P(Y\leqq 2)\\ &\quad +P(X=4)P(Y\leqq 3). \end{aligned} $$

したがって、

$$ \begin{aligned} P(X>Y) &=\frac4{16}\cdot\frac1{8} +\frac6{16}\cdot\frac{1+3}{8} +\frac4{16}\cdot\frac{1+3+3}{8} +\frac1{16}\cdot 1\\ &=\frac4{128}+\frac{24}{128}+\frac{28}{128}+\frac8{128}\\ &=\frac{64}{128}\\ &=\frac12. \end{aligned} $$

よって、$B$ が勝つ確率は、全確率から $A$ の勝つ確率と引き分けの確率を引けばよい。

$$ \begin{aligned} P(Y>X) &=1-P(X>Y)-P(X=Y)\\ &=1-\frac{64}{128}-\frac{35}{128}\\ &=\frac{29}{128}. \end{aligned} $$

したがって、

$$ P(A\text{ の勝ち})=\frac12,\qquad P(B\text{ の勝ち})=\frac{29}{128},\qquad P(\text{引き分け})=\frac{35}{128} $$

である。

次に、勝った方が相手の投げた硬貨をすべてもらえるとする。

$A$ が勝つと、$B$ の投げた $50$ 円硬貨 $3$ 枚、すなわち $150$ 円を得る。一方、$B$ が勝つと、$A$ の投げた $100$ 円硬貨 $4$ 枚、すなわち $400$ 円を得る。引き分けでは授受はないと考える。

$A$ の利益の期待値は

$$ \begin{aligned} 150\cdot P(A\text{ の勝ち})-400\cdot P(B\text{ の勝ち}) &=150\cdot\frac12-400\cdot\frac{29}{128}\\ &=75-\frac{11600}{128}\\ &=75-\frac{725}{8}\\ &=-\frac{125}{8}. \end{aligned} $$

よって $A$ の期待利益は $-\frac{125}{8}$ 円である。

したがって、$B$ の期待利益はその反対で

$$ \frac{125}{8} $$

円である。よって、この条件では $B$ の方が有利である。

解説

この問題では、硬貨の金額は勝敗判定には関係しない。勝敗は表の枚数だけで決まるため、まず二項分布で表の枚数の分布を作るのが自然である。

注意すべき点は、$A$ は $4$ 枚、$B$ は $3$ 枚投げるので、$A$ の方が勝つ確率は高いことである。しかし、賞金の条件を考えると、$A$ が勝って得る金額は $150$ 円であるのに対し、$B$ が勝って得る金額は $400$ 円である。したがって、勝率だけで有利不利を判断してはいけない。

期待値を計算すると、$A$ は平均的に損をし、$B$ は平均的に得をする。よって、確率としては $A$ が勝ちやすいが、金額まで含めると $B$ が有利である。

答え

(1)

$$ P(A\text{ の勝ち})=\frac12,\qquad P(B\text{ の勝ち})=\frac{29}{128},\qquad P(\text{引き分け})=\frac{35}{128} $$

(2)

$A$ の期待利益は

$$ -\frac{125}{8}\text{ 円} $$

である。したがって、$B$ の方が有利である。