数学A 期待値 問題 4 解説

方針・初手

2枚の選び方はすべて同様に確からしいので、全体の場合の数をまず数える。得点は、$\triangle$ を含むときは必ず $0$ 点、含まないときは「$1,1$」または「$1,4$」のどちらかで決まる。

解法1

全体の場合の数は、$n+2$ 枚のカードから $2$ 枚を選ぶので

$$ {}_{n+2}\mathrm{C}_{2}=\frac{(n+2)(n+1)}{2} $$

である。

(1)

得点が $0$ 点となるのは、$\triangle$ のカードを含む場合である。$\triangle$ のほかに引くカードは、数字 $1$ のカード $n$ 枚と数字 $4$ のカード $1$ 枚の合計 $n+1$ 枚から選べる。よって

$$ P(0)=\frac{n+1}{{}_{n+2}\mathrm{C}_{2}} =\frac{2}{n+2} $$

である。

得点が $2$ 点となるのは、数字 $1$ のカードを $2$ 枚引く場合である。したがって

$$ P(2)=\frac{{}_{n}\mathrm{C}_{2}}{{}_{n+2}\mathrm{C}_{2}} =\frac{n(n-1)}{(n+2)(n+1)} $$

である。なお、$n=1$ のときは ${}_{1}\mathrm{C}_{2}=0$ であり、この式でも確率は $0$ となる。

得点が $5$ 点となるのは、数字 $1$ のカード $1$ 枚と数字 $4$ のカード $1$ 枚を引く場合である。その選び方は $n$ 通りだから

$$ P(5)=\frac{n}{{}_{n+2}\mathrm{C}_{2}} =\frac{2n}{(n+2)(n+1)} $$

である。

(2)

得点は $0,2,5$ のいずれかであるから、期待値を $a_n$ とすると

$$ \begin{aligned} a_n &=0\cdot P(0)+2\cdot P(2)+5\cdot P(5)\\ &=2\cdot \frac{n(n-1)}{(n+2)(n+1)} +5\cdot \frac{2n}{(n+2)(n+1)}\\ &=\frac{2n(n-1)+10n}{(n+2)(n+1)}\\ &=\frac{2n(n+4)}{(n+1)(n+2)} \end{aligned} $$

となる。

(3)

$$ a_n=\frac{2n(n+4)}{(n+1)(n+2)} $$

であるから、

$$ a_{n+1} =\frac{2(n+1)(n+5)}{(n+2)(n+3)} $$

である。差を計算すると

$$ \begin{aligned} a_{n+1}-a_n &=\frac{2(n+1)(n+5)}{(n+2)(n+3)} -\frac{2n(n+4)}{(n+1)(n+2)}\\ &=\frac{2{(n+1)^2(n+5)-n(n+4)(n+3)}}{(n+1)(n+2)(n+3)}\\ &=\frac{2(5-n)}{(n+1)(n+2)(n+3)} \end{aligned} $$

である。

$n$ は自然数なので、分母 $(n+1)(n+2)(n+3)$ は正である。したがって $a_{n+1}-a_n$ の符号は $5-n$ の符号で決まる。

すなわち、

$$ \begin{cases} a_{n+1}-a_n>0 & (n=1,2,3,4),\\ a_{n+1}-a_n=0 & (n=5),\\ a_{n+1}-a_n<0 & (n\geqq 6) \end{cases} $$

である。

よって、$a_n$ は $n=5$ まで増加し、$a_6=a_5$ となり、その後は減少する。したがって $a_n$ が最大となる自然数 $n$ は

$$ n=5,\ 6 $$

である。

解説

この問題では、カードを区別して数える必要がある。数字 $1$ のカードはすべて同じ数字が書かれているが、カードとしては $n$ 枚あるため、選び方は組合せで数える。

また、$\triangle$ を含む場合は数字の和ではなく得点が強制的に $0$ 点になるため、まず $\triangle$ を含む場合と含まない場合に分けるのが自然である。

最大値を調べる部分では、$a_n$ の値そのものを比較するよりも、$a_{n+1}-a_n$ を計算して増減を見るのが最も直接的である。差が $n=5$ で $0$ になるため、最大を与える $n$ が $1$ つではなく $5,6$ の $2$ つになる点に注意する。

答え

(1)

$$ P(0)=\frac{2}{n+2},\qquad P(2)=\frac{n(n-1)}{(n+1)(n+2)},\qquad P(5)=\frac{2n}{(n+1)(n+2)} $$

(2)

$$ a_n=\frac{2n(n+4)}{(n+1)(n+2)} $$

(3)

$$ n=5,\ 6 $$