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数学A 確率問題 49 解説

方針・初手

6枚のカードの並べ方はすべて同様に確からしく、総数は $6!$ 通りである。

位置を固定する問題では残りのカードの並べ方を数え、隣り合う条件ではカードを「1つのかたまり」として扱う。左右関係だけを問う問題では、関係するカードの相対的な順序に注目する。

解法1

全体の並べ方は

$$ 6! = 720 $$

通りである。

まず、$[1]$ が一番左にある場合を考える。一番左を $[1]$ に固定すると、残り5枚を自由に並べればよいから、

$$ 5! $$

通りである。したがって確率は

$$ \frac{5!}{6!}=\frac{1}{6} $$

である。

次に、$[1]$ が一番左にあり、かつ $[6]$ が一番右にある場合を考える。左右の端を固定すると、残り4枚を中央の4か所に並べればよいから、

$$ 4! $$

通りである。よって確率は

$$ \frac{4!}{6!}=\frac{1}{30} $$

である。

$[1]$ と $[2]$ が隣り合う場合は、$[1]$ と $[2]$ を1つのかたまりとして考える。このかたまりと $[3],[4],[5],[6]$ の合計5個を並べるので $5!$ 通りあり、かたまりの中の順序は

$$ [1][2],\ [2][1] $$

の2通りである。したがって確率は

$$ \frac{2\cdot 5!}{6!}=\frac{1}{3} $$

である。

次に、$[1]$ と $[2]$ が隣り合い、さらに $[2]$ と $[3]$ も隣り合う場合を考える。このとき、$[1],[2],[3]$ は連続して並び、$[2]$ は中央に来なければならない。したがって並び方は

$$ [1][2][3],\ [3][2][1] $$

の2通りである。

この3枚のかたまりと $[4],[5],[6]$ の合計4個を並べるので、条件を満たす並べ方は

$$ 2\cdot 4! $$

通りである。よって確率は

$$ \frac{2\cdot 4!}{6!}=\frac{1}{15} $$

である。

次に、$[1],[2],[3]$ のいずれも隣り合わない場合を考える。これは、$[1],[2],[3]$ の置かれる3つの位置が互いに隣り合わないということである。

6か所のうち、互いに隣り合わない3か所の選び方は

$$ {1,3,5},\ {1,3,6},\ {1,4,6},\ {2,4,6} $$

の4通りである。

その3か所に $[1],[2],[3]$ を並べる方法は $3!$ 通り、残り3か所に $[4],[5],[6]$ を並べる方法も $3!$ 通りである。したがって条件を満たす並べ方は

$$ 4\cdot 3!\cdot 3! $$

通りである。よって確率は

$$ \begin{aligned} \frac{4\cdot 3!\cdot 3!}{6!} &= \frac{144}{720} \\ \frac{1}{5} \end{aligned} $$

である。

最後に、左右関係について考える。

$[1]$ が $[2]$ よりも左にある確率は、$[1]$ と $[2]$ の左右の順序が

$$ [1]\cdots[2],\quad [2]\cdots[1] $$

の2通りで対称であるから、

$$ \frac{1}{2} $$

である。

また、$[1]$ が $[2]$ よりも左にあり、かつ $[3]$ が $[2]$ よりも右にあるという条件は、$[1],[2],[3]$ の相対的な順序が

$$ [1]\cdots[2]\cdots[3] $$

であることを意味する。

$[1],[2],[3]$ の相対的な順序は全部で $3!$ 通りあり、そのうち条件を満たすのは1通りだけである。したがって確率は

$$ \frac{1}{3!}=\frac{1}{6} $$

である。

解説

隣り合う確率では、隣り合うカードを1つのかたまりとして数えるのが基本である。ただし、$[1]$ と $[2]$、$[2]$ と $[3]$ がともに隣り合う場合は、$[1],[2],[3]$ を自由に並べてよいわけではない。$[2]$ が中央に来る必要があるため、内部の並びは $[1][2][3]$ と $[3][2][1]$ の2通りだけである。

また、「$[1],[2],[3]$ のいずれも隣り合わない」は、3枚のうちどの2枚も隣同士にならないという条件である。カードを直接並べるよりも、まず置かれる位置を選ぶ方が数えやすい。

左右関係だけを問う場合は、全体の $6!$ 通りを数え直す必要はない。関係するカードだけの相対的な順序に注目すればよい。