数学A 確率 問題 92 解説

方針・初手

点 $A,B,C,D,E,F,G,H$ をそれぞれ $0,1,2,\ldots,7$ と考える。表を $1$ 進む、裏を $3$ 進むとすれば、上がりとは進んだ距離の合計が $8$ の倍数になった瞬間である。

ただし、途中で一度でも $8$ の倍数になればそこで終了するので、「$n$ 回投げて上がり」とは、$n$ 回目で初めて合計が $8$ の倍数になることを意味する。

解法1

表を $1$、裏を $3$ として考える。

（1） 硬貨を $4$ 回投げて上がりとなる確率

$4$ 回投げたとき、裏が $b$ 回、表が $4-b$ 回出たとする。このとき進んだ距離の合計は

$$ (4-b)\cdot 1+b\cdot 3=4+2b $$

である。これが $8$ の倍数になるには

$$ 4+2b=8 $$

より

$$ b=2 $$

である。

したがって、$4$ 回のうち裏がちょうど $2$ 回出ればよい。途中の合計は最大でも $7$ までであり、$4$ 回目より前に $A$ に止まることはない。

よって確率は

$$ \begin{aligned} \frac{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}{2^4} &= \frac{6}{16} \\ \frac{3}{8} \end{aligned} $$

である。

（2） 硬貨を $6$ 回投げて上がりとなる確率

$6$ 回投げたとき、裏が $b$ 回、表が $6-b$ 回出たとする。このとき進んだ距離の合計は

$$ (6-b)\cdot 1+b\cdot 3=6+2b $$

である。これが $8$ の倍数になる場合を考える。

$$ 6+2b=8 $$

より

$$ b=1 $$

また、

$$ 6+2b=16 $$

より

$$ b=5 $$

である。

したがって、考えるべき場合は、裏が $1$ 回の場合と裏が $5$ 回の場合である。

（i） 裏が $1$ 回の場合

このとき進んだ距離の合計は $8$ であり、$1$ 周目で上がる。並べ方は

$$ {}_{6}\mathrm{C}_{1}=6 $$

通りである。

（ii） 裏が $5$ 回の場合

このとき進んだ距離の合計は $16$ であり、$2$ 周目で上がる。並べ方は

$$ {}_{6}\mathrm{C}_{5}=6 $$

通りである。

この場合、途中で合計が $8$ になるかを確認する必要がある。裏は $3$、表は $1$ なので、途中で合計が $8$ になるには

$$ 3x+y=8 $$

を満たす必要がある。ただし、この場合は表は全体で $1$ 回しかないので $y$ は $0$ または $1$ である。

$y=0$ のとき $3x=8$ となり不可能であり、$y=1$ のとき $3x=7$ となり不可能である。したがって、途中で $A$ に止まることはない。

よって、$6$ 回目で初めて上がる並べ方は

$$ 6+6=12 $$

通りである。したがって確率は

$$ \begin{aligned} \frac{12}{2^6} &= \frac{12}{64} \\ \frac{3}{16} \end{aligned} $$

である。

（3） $1$ 周目で上がりとなる確率

$1$ 周目で上がるとは、進んだ距離の合計が初めて $8$ になることである。各回で進む距離は正なので、合計が $8$ になった時点で必ず初めて $A$ に止まる。

裏が $b$ 回、表が $a$ 回出たとすると

$$ a+3b=8 $$

である。非負整数解を求めると

$$ (a,b)=(8,0),(5,1),(2,2) $$

である。

それぞれの場合を数える。

(i)

$(a,b)=(8,0)$ の場合

すべて表であり、確率は

$$ \frac{1}{2^8} $$

である。

(ii)

$(a,b)=(5,1)$ の場合

全部で $6$ 回投げ、そのうち裏が $1$ 回である。確率は

$$ \begin{aligned} \frac{{}_{6}\mathrm{C}_{1}}{2^6} &= \frac{6}{64} \end{aligned} $$

である。

(iii)

$(a,b)=(2,2)$ の場合

全部で $4$ 回投げ、そのうち裏が $2$ 回である。確率は

$$ \begin{aligned} \frac{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}{2^4} &= \frac{6}{16} \end{aligned} $$

である。

したがって、求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2^8} + \frac{6}{2^6} + \frac{6}{2^4} &= \frac{1}{256} + \frac{24}{256} + \frac{96}{256} &= \frac{121}{256} \end{aligned} $$

である。

（4） 途中で $G$ に止まり、$1$ 周目で上がりとなる確率

$G$ は $A$ から時計回りに $6$ 進んだ点である。したがって、$1$ 周目で上がる途中で $G$ に止まるとは、途中の進んだ距離の合計が $6$ になり、その後さらに $2$ 進んで合計 $8$ になることである。

合計 $6$ から合計 $8$ になるには、残りは $2$ である。進める距離は $1$ または $3$ なので、残り $2$ は表を $2$ 回出す以外にない。

まず、$G$ に止まるまでを考える。表が $a$ 回、裏が $b$ 回出て、進んだ距離の合計が $6$ になるには

$$ a+3b=6 $$

である。非負整数解は

$$ (a,b)=(6,0),(3,1),(0,2) $$

である。

それぞれの後ろに表 $2$ 回を続ければ、$1$ 周目で上がる。

(i)

$(a,b)=(6,0)$ の場合

$G$ までに表 $6$ 回、その後に表 $2$ 回なので、全体では表 $8$ 回である。確率は

$$ \frac{1}{2^8} $$

である。

(ii)

$(a,b)=(3,1)$ の場合

$G$ までに表 $3$ 回、裏 $1$ 回であり、並べ方は

$$ {}_{4}\mathrm{C}_{1}=4 $$

通りである。その後は表 $2$ 回で固定される。よって確率は

$$ \frac{4}{2^6} $$

である。

(iii)

$(a,b)=(0,2)$ の場合

$G$ までに裏 $2$ 回であり、その後は表 $2$ 回で固定される。よって確率は

$$ \frac{1}{2^4} $$

である。

したがって、求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2^8} + \frac{4}{2^6} + \frac{1}{2^4} &= \frac{1}{256} + \frac{16}{256} + \frac{16}{256} &= \frac{33}{256} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、各点を $8$ で割った余りとして見るのが重要である。表を $1$、裏を $3$ とすれば、駒の位置は「進んだ距離の合計を $8$ で割った余り」で決まる。

ただし、単に最終的な合計が $8$ の倍数であるだけでは不十分である。途中で $A$ に止まった場合はそこで終了するため、「初めて $8$ の倍数になる」という条件を確認する必要がある。

特に （2） では、合計が $16$ になる場合も含まれるため、$1$ 周目だけでなく $2$ 周目で上がる場合も数える必要がある。一方、（3） と （4） は「$1$ 周目」という条件があるので、合計が $8$ になる場合だけを扱えばよい。

答え

(1)

$$ \frac{3}{8} $$

(2)

$$ \frac{3}{16} $$

(3)

$$ \frac{121}{256} $$

(4)

$$ \frac{33}{256} $$