数学A 確率 問題 116 解説

方針・初手

各回の取り出しは独立で、$0,1,\dots,99$ の各数が確率 $\dfrac{1}{100}$ で出る。

積 $M_n$ の性質は、各 $a_k$ の性質から判定する。特に、$M_n=0$ は「少なくとも1回 $0$ が出る」と同値であり、$M_n$ が $4$ で割り切れない偶数となる条件は、積に含まれる $2$ の個数を考えるとよい。

解法1

(1)

$M_n=0$ となるのは、$a_1,a_2,\dots,a_n$ の中に少なくとも1つ $0$ が含まれるときである。

その余事象は、すべての回で $0$ 以外の数が出ることである。1回で $0$ 以外が出る確率は $\dfrac{99}{100}$ であるから、独立性より

$$ P(M_n\neq 0)=\left(\frac{99}{100}\right)^n $$

である。したがって、

$$ P(M_n=0)=1-\left(\frac{99}{100}\right)^n $$

である。

(2)

$M_n\geqq 3$ の余事象は $M_n<3$ である。各 $a_k$ は $0$ 以上の整数なので、$M_n<3$ となる場合は

$$ M_n=0,\quad M_n=1,\quad M_n=2 $$

の3通りである。

まず、$M_n=0$ となる確率は （1） より

$$ 1-\left(\frac{99}{100}\right)^n $$

である。

次に、$M_n=1$ となるのは、すべての回で $1$ が出るときに限る。よって

$$ P(M_n=1)=\left(\frac{1}{100}\right)^n $$

である。

また、$M_n=2$ となるのは、$n$ 回のうちちょうど1回だけ $2$ が出て、残りの $n-1$ 回はすべて $1$ が出るときに限る。したがって

$$ P(M_n=2)=n\left(\frac{1}{100}\right)^n $$

である。

以上より、

$$ \begin{aligned} P(M_n\geqq 3) &=1-\left\{P(M_n=0)+P(M_n=1)+P(M_n=2)\right\} \\ &=1-\left\{1-\left(\frac{99}{100}\right)^n+\left(\frac{1}{100}\right)^n+n\left(\frac{1}{100}\right)^n\right\} \\ &=\left(\frac{99}{100}\right)^n-\frac{n+1}{100^n} \end{aligned} $$

である。

(3)

$M_n$ が $4$ で割り切れない偶数となるには、積 $M_n$ に含まれる素因数 $2$ の個数がちょうど1個であればよい。

$0$ は $4$ で割り切れる数として扱われるので、条件を満たす場合には $0$ は出てはならない。

$0,1,\dots,99$ のうち、奇数は

$$ 50 $$

個ある。

また、$4$ で割り切れない偶数、すなわち $4$ で割った余りが $2$ である数は

$$ 2,6,10,\dots,98 $$

であり、個数は

$$ 25 $$

個である。

積 $M_n$ が $4$ で割り切れない偶数となるには、$n$ 回のうちちょうど1回だけ $4$ で割った余りが $2$ である数が出て、残りの $n-1$ 回はすべて奇数であればよい。

したがって、その確率は

$$ n\cdot \frac{25}{100}\left(\frac{50}{100}\right)^{n-1} $$

である。これを整理すると、

$$ n\cdot \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} =\frac{n}{2^{n+1}} $$

となる。

解説

この問題では、積そのものを直接扱うよりも、積が特定の性質をもつために各因数がどのような条件を満たすかを考えるのが基本である。

（1） は「少なくとも1回」を余事象で処理する典型問題である。

（2） は $M_n\geqq 3$ を直接数えるより、余事象 $M_n<3$ を考える方が簡潔である。積が $0,1,2$ になる場合を漏れなく分けることが重要である。

（3） は偶奇だけでは不十分であり、$2$ の因数の個数に注目する必要がある。$4$ で割り切れない偶数とは、素因数 $2$ をちょうど1個だけ含む整数であるから、「1回だけ $4$ で割って $2$ 余る数が出て、他はすべて奇数」と考える。

答え

(1)

$$ 1-\left(\frac{99}{100}\right)^n $$

(2)

$$ \left(\frac{99}{100}\right)^n-\frac{n+1}{100^n} $$

(3)

$$ \frac{n}{2^{n+1}} $$