数学A 確率(反復試行) 問題 5 解説

方針・初手

Aの硬貨で表が出る回数を $X$、Bの硬貨で表が出る回数を $Y$ とする。

どちらも8回投げるので、$X,Y$ はそれぞれ $0,1,\dots,8$ の値をとる。求めるのは $|X-Y|\geqq 7$ となる場合の確率である。

差が7以上になるのは、差が $7$ または $8$ の場合だけなので、その場合を数え上げる。

解法1

AとBの硬貨をそれぞれ8回投げるので、全事象の数は

$$ 2^8\cdot 2^8=2^{16} $$

である。

表の回数の差が $8$ となるのは、一方が8回すべて表で、他方が0回表である場合である。したがって

$$ (X,Y)=(8,0),(0,8) $$

の2通りであり、それぞれの起こり方は1通りずつである。よって、この場合の数は

$$ 1\cdot 1+1\cdot 1=2 $$

である。

次に、表の回数の差が $7$ となる場合を考える。このとき

$$ (X,Y)=(8,1),(1,8),(7,0),(0,7) $$

である。

それぞれの起こり方は、表が $k$ 回出る並び方が ${}_8\mathrm{C}_{k}$ 通りであることから、

$$ \begin{aligned} &(8,1): {}_8\mathrm{C}_{8}{}_8\mathrm{C}_{1}=1\cdot 8=8,\\ &(1,8): {}_8\mathrm{C}_{1}{}_8\mathrm{C}_{8}=8\cdot 1=8,\\ &(7,0): {}_8\mathrm{C}_{7}{}_8\mathrm{C}_{0}=8\cdot 1=8,\\ &(0,7): {}_8\mathrm{C}_{0}{}_8\mathrm{C}_{7}=1\cdot 8=8. \end{aligned} $$

したがって、差が $7$ となる場合の数は

$$ 8+8+8+8=32 $$

である。

以上より、条件を満たす場合の数は

$$ 2+32=34 $$

である。したがって求める確率は

$$ \frac{34}{2^{16}}=\frac{17}{2^{15}} $$

となる。

解説

差が7以上という条件はかなり厳しく、表の回数が極端に偏る場合だけを調べればよい。

この問題では、$X,Y$ の組をすべて列挙するのではなく、$|X-Y|\geqq 7$ となる組だけを先に特定するのが速い。差が8の場合と差が7の場合に分けると、漏れなく数え上げられる。

また、AとBは別々の硬貨なので、同じ表の回数でも並び方はそれぞれ独立に数える必要がある。

答え

$$ \boxed{17} $$