数学A 確率(反復試行) 問題 12 解説

方針・初手

サイコロの結果を、$x$ 方向へ進む場合、$y$ 方向へ進む場合、動かない場合の $3$ 種類に分ける。

それぞれの確率は

$$ P(X)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2},\qquad P(Y)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},\qquad P(S)=\frac{1}{6} $$

である。ここで $X$ は $x$ 方向へ $1$ 動くこと、$Y$ は $y$ 方向へ $1$ 動くこと、$S$ は動かないことを表す。

よって、何回のうち $X,Y,S$ がそれぞれ何回起こるかを数えればよい。

解法1

$5$ 回投げた後に座標 $(a,b)$ にあるためには、$X$ が $a$ 回、$Y$ が $b$ 回起こる必要がある。残りは動かない $S$ である。

したがって、$5$ 回後に $(a,b)$ にある確率は、$5-a-b\geqq 0$ のとき

$$ \frac{5!}{a!b!(5-a-b)!} \left(\frac{1}{2}\right)^a \left(\frac{1}{3}\right)^b \left(\frac{1}{6}\right)^{5-a-b} $$

である。

まず、$(4,1)$ にある場合を考える。このとき

$$ X=4,\qquad Y=1,\qquad S=0 $$

であるから、確率は

$$ \begin{aligned} \frac{5!}{4!1!0!} \left(\frac{1}{2}\right)^4 \left(\frac{1}{3}\right) &= 5\cdot \frac{1}{16}\cdot \frac{1}{3} \\ \frac{5}{48} \end{aligned} $$

である。

次に、$(3,1)$ にある場合を考える。このとき

$$ X=3,\qquad Y=1,\qquad S=1 $$

であるから、確率は

$$ \begin{aligned} \frac{5!}{3!1!1!} \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{1}{6}\right) &= 20\cdot \frac{1}{8}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6} \\ \frac{5}{36} \end{aligned} $$

である。

次に、$(2,1)$ にある場合を考える。このとき

$$ X=2,\qquad Y=1,\qquad S=2 $$

であるから、確率は

$$ \begin{aligned} \frac{5!}{2!1!2!} \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{1}{6}\right)^2 &= 30\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{36} \\ \frac{5}{72} \end{aligned} $$

である。

最後に、$n$ 回投げた後に $(n-3,1)$ にある確率を求める。

$(n-3,1)$ にあるためには、

$$ X=n-3,\qquad Y=1 $$

でなければならない。全体で $n$ 回投げているから、動かない回数 $S$ は

$$ n-(n-3)-1=2 $$

である。

よって確率は

$$ \frac{n!}{(n-3)!1!2!} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-3} \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{1}{6}\right)^2 $$

である。整理すると、

$$ \begin{aligned} \frac{n(n-1)(n-2)}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{36} &= \frac{n(n-1)(n-2)}{216\cdot 2^{n-3}} \end{aligned} $$

である。さらに $216\cdot 2^{n-3}=27\cdot 2^n$ より、

$$ \frac{n(n-1)(n-2)}{27\cdot 2^n} $$

とも書ける。

解説

この問題は、各回のサイコロの結果を「$x$ 方向に進む」「$y$ 方向に進む」「動かない」の $3$ 種類に分類するのが本質である。

座標 $(a,b)$ にいるという条件は、$x$ 方向への移動回数が $a$ 回、$y$ 方向への移動回数が $b$ 回であることを意味する。残りの回数はすべて「動かない」場合である。

したがって、順番を考慮して多項係数を用いればよい。特に $(n-3,1)$ では、動かない回数が必ず $2$ 回になる点が重要である。

答え

$$ \text{[オ]}=\frac{5}{48} $$

$$ \text{[カ]}=\frac{5}{36} $$

$$ \text{[キ]}=\frac{5}{72} $$

$$ \begin{aligned} \text{[ク]}=\frac{n(n-1)(n-2)}{216\cdot 2^{n-3}} &= \frac{n(n-1)(n-2)}{27\cdot 2^n} \end{aligned} $$