数学A 確率(反復試行) 問題 14 解説

方針・初手

白線を座標平面の $y$ 軸とみなし、$A$ を原点とする。出発点は白線から西へ $5$ m の点なので、白線に達するには「東へ $1$ m 進む」操作がちょうど $5$ 回必要である。

したがって、$A$ から北へ $n$ m の点に到達するとは、白線に初めて達するまでに「北へ $1$ m 進む」操作がちょうど $n$ 回起こることである。

解法1

銅貨の表を $H$、裏を $T$ とする。表が出ると東へ $1$ m、裏が出ると北へ $1$ m 進む。

白線に達するためには、表がちょうど $5$ 回出る必要がある。$A$ から北へ $n$ m の点に到達するには、裏がちょうど $n$ 回出た状態で、最後に $5$ 回目の表が出ればよい。

つまり、最後の投げで表が出て、それ以前の $n+4$ 回の中に表が $4$ 回、裏が $n$ 回出る場合である。

その並べ方は

$$ {}_{n+4}\mathrm{C}_{4} $$

通りであり、投げる回数の合計は $n+5$ 回である。銅貨は公平なので、それぞれの並びの確率は

$$ \left(\frac12\right)^{n+5} $$

である。

したがって、求める確率 $p_n$ は

$$ p_n={}_{n+4}\mathrm{C}_{4}\left(\frac12\right)^{n+5} $$

である。

次に、この $p_n$ を最大にする $n$ を求める。比を調べると、

$$ \begin{aligned} \frac{p_{n+1}}{p_n} &= \frac{{}_{n+5}\mathrm{C}_{4}\left(\frac12\right)^{n+6}} {{}_{n+4}\mathrm{C}_{4}\left(\frac12\right)^{n+5}} &= \frac{n+5}{2(n+1)} \end{aligned} $$

である。

よって、

$$ \frac{p_{n+1}}{p_n}\geqq 1 $$

となる条件は

$$ \frac{n+5}{2(n+1)}\geqq 1 $$

すなわち

$$ n+5\geqq 2n+2 $$

である。これを解くと

$$ n\leqq 3 $$

となる。

したがって、$p_n$ は $n=0,1,2,3$ までは増加し、$n=3$ から $n=4$ では等しく、その後は減少する。実際に $n=3$ のとき

$$ \frac{p_4}{p_3}=1 $$

である。

よって、$p_n$ を最大にする $n$ は

$$ n=3,\ 4 $$

である。

解説

この問題は、白線に達するまでの移動を「表が5回出るまで投げ続ける」と読み替えるのが核心である。

最後の1回は必ず5回目の表でなければならないため、単に $n+5$ 回の中から表5回を選ぶのではなく、最後を表に固定し、それ以前の $n+4$ 回から表4回の位置を選ぶ点に注意する。

$p_n$ の最大値を求める部分では、具体的に展開して微分するような処理ではなく、隣り合う項の比

$$ \frac{p_{n+1}}{p_n} $$

を調べるのが自然である。数列がどこまで増加し、どこから減少するかを判定できる。

答え

(1)

$$ p_n={}_{n+4}\mathrm{C}_{4}\left(\frac12\right)^{n+5} $$

(2)

$$ n=3,\ 4 $$