数学A 確率(反復試行) 問題 20 解説

方針・初手

赤玉を取り出す確率は各回で一定であり、取り出した玉は袋に戻すので、30回の試行は互いに独立である。したがって、赤玉を $r$ 回取り出す確率は二項分布で表される。

確率を直接最大化するために、隣り合う確率の比を調べる。

解法1

赤玉を $r$ 回取り出す確率を $P_r$ とする。ただし $r=0,1,\dots,30$ である。

1回の試行で赤玉を取り出す確率は

$$ \frac{3}{10} $$

白玉を取り出す確率は

$$ \frac{7}{10} $$

であるから、

$$ P_r={}_{30}C_r\left(\frac{3}{10}\right)^r\left(\frac{7}{10}\right)^{30-r} $$

である。

隣り合う確率の比を計算すると、

$$ \begin{aligned} \frac{P_{r+1}}{P_r} &= \frac{{}*{30}C*{r+1}}{{}_{30}C_r} \cdot \frac{3}{10} \cdot \frac{10}{7} \\ &= \frac{30-r}{r+1}\cdot \frac{3}{7}. \end{aligned} $$

したがって、

$$ \frac{P_{r+1}}{P_r}>1 $$

となる条件は

$$ \frac{30-r}{r+1}\cdot \frac{3}{7}>1 $$

である。これを解くと、

$$ 3(30-r)>7(r+1) $$

より、

$$ 90-3r>7r+7 $$

すなわち

$$ 83>10r $$

である。よって

$$ r<8.3 $$

のとき $P_{r+1}>P_r$ である。

つまり、$r=0,1,\dots,8$ では

$$ P_{r+1}>P_r $$

となるので、確率は $P_0,P_1,\dots,P_9$ まで増加する。

次に、

$$ \begin{aligned} \frac{P_{10}}{P_9} &= \frac{30-9}{9+1}\cdot \frac{3}{7} \\ &= \frac{21}{10}\cdot\frac{3}{7} \\ &= \frac{9}{10}<1 \end{aligned} $$

であるから、$P_{10}<P_9$ である。

したがって、確率は $r=9$ で最大になる。

解説

この問題は「赤玉を何回取り出すか」という回数を考える二項分布の問題である。

平均は

$$ 30\cdot\frac{3}{10}=9 $$

であるため、直感的にも $9$ 回付近で最大になりそうだと分かる。ただし、最大値を正確に決めるには、平均だけでは不十分である。

そこで、隣り合う確率の比

$$ \frac{P_{r+1}}{P_r} $$

を調べると、確率がどこまで増加し、どこから減少するかを判定できる。今回は $P_9$ まで増加し、その後減少するので、最大となる回数は $9$ 回である。

答え

赤玉を取り出す回数が最も起こりやすいのは

$$ 9\text{回} $$

である。