数学A 確率(反復試行) 問題 25 解説

方針・初手

正八角形上の移動を、頂点 $A$ を $0$、反時計回りを正の向きとする周期 $8$ の移動として考える。

表を $+1$、裏を $-1$ の移動とし、$10$ 回後の整数としての移動量を $X_{10}$ とおく。点 $A$ にいることは

$$ X_{10}\equiv 0 \pmod 8 $$

であり、点 $E$ にいることは

$$ X_n\equiv 4 \pmod 8 $$

である。$10$ 回まででは $X_n$ は $-10$ 以上 $10$ 以下なので、点 $E$ にいることは $X_n=4$ または $X_n=-4$ と同じである。

解法1

全事象は $2^{10}$ 通りで、すべて同様に確からしい。

（1） 事象 $S$ の確率を求める。

表の出た回数を $r$ とする。このとき裏の出た回数は $10-r$ であるから、

$$ X_{10}=r-(10-r)=2r-10 $$

である。

点 $A$ にいる条件は

$$ 2r-10\equiv 0 \pmod 8 $$

すなわち

$$ 2r\equiv 2 \pmod 8 $$

である。したがって

$$ r\equiv 1 \pmod 4 $$

であり、$0\leqq r\leqq 10$ より

$$ r=1,5,9 $$

である。

よって、事象 $S$ が起こる場合の数は

$$ {}_{10}\mathrm{C}_{1}+{}_{10}\mathrm{C}_{5}+{}_{10}\mathrm{C}_{9} =10+252+10 =272 $$

である。したがって

$$ P(S)=\frac{272}{2^{10}}=\frac{272}{1024}=\frac{17}{64} $$

となる。

（2） 事象 $S$ と事象 $T$ がともに起こる確率を求める。

事象 $S$ が起こるとき、

$$ X_{10}=-8,0,8 $$

のいずれかである。

まず、$X_{10}=8$ の場合、$0$ から $8$ まで $1$ ずつ増減して進むので、途中で必ず $X_n=4$ を通る。同様に、$X_{10}=-8$ の場合も途中で必ず $X_n=-4$ を通る。したがって、これらはすべて事象 $T$ を満たす。

その場合の数は

$$ {}_{10}\mathrm{C}_{9}+{}_{10}\mathrm{C}_{1}=10+10=20 $$

である。

次に、$X_{10}=0$ の場合を考える。この場合の総数は

$$ {}_{10}\mathrm{C}_{5}=252 $$

である。このうち、途中で $X_n=4$ または $X_n=-4$ に到達するものを数えたいので、補集合として、途中で $X_n=\pm4$ に一度も到達しないものを数える。

偶数回後だけを考える。$2m$ 回後に、それまで $X_n=\pm4$ に到達せず、かつ $X_{2m}=-2,0,2$ にいる場合の数をそれぞれ $a_m,b_m,c_m$ とする。

初期値は

$$ (a_0,b_0,c_0)=(0,1,0) $$

である。$2$ 回の移動ごとに考えると、$-2$ から $-2$ へ戻る道は $2$ 通り、$0$ から $-2$ へ行く道は $1$ 通りである。同様にして

$$ \begin{aligned} a_{m+1}&=2a_m+b_m,\\ b_{m+1}&=a_m+2b_m+c_m,\\ c_{m+1}&=b_m+2c_m \end{aligned} $$

を得る。

これを順に計算すると、次のようになる。

したがって、$X_{10}=0$ であり、途中で点 $E$ に一度も到達しない場合の数は $232$ 通りである。

よって、$X_{10}=0$ であり、途中で点 $E$ に少なくとも一度到達する場合の数は

$$ 252-232=20 $$

である。

以上より、事象 $S$ と事象 $T$ がともに起こる場合の数は

$$ 20+20=40 $$

である。したがって

$$ P(S\cap T)=\frac{40}{2^{10}}=\frac{40}{1024}=\frac{5}{128} $$

である。

解説

この問題では、正八角形の頂点をそのまま図形として扱うよりも、周期 $8$ の整数の移動として見るのが有効である。

点 $A$ に戻る条件は $X_{10}\equiv 0\pmod 8$ であり、点 $E$ に到達する条件は $X_n\equiv 4\pmod 8$ である。$10$ 回以内では $X_n$ の範囲が限られるため、点 $E$ にいることは $X_n=4$ または $X_n=-4$ と言い換えられる。

特に、$X_{10}=\pm8$ の場合は途中で必ず $\pm4$ を通る。一方、$X_{10}=0$ の場合は点 $E$ を通るとは限らないため、「通らない場合」を数えて補集合を取るのが自然である。

答え

(1)

$$ \frac{17}{64} $$

(2)

$$ \frac{5}{128} $$