数学A 確率(巴戦) 問題 3 解説

方針・初手

この試合では、各回の勝者を順に見るとよい。

優勝が決まるのは、ある人が前回に続いて勝つときである。したがって、試合が続くためには、2回目以降の各回で「前回の勝者が負ける」必要がある。この確率は毎回 $\dfrac{1}{2}$ である。

また、優勝が決まらずに進む場合、勝者の並びは周期的になる。1回目の勝者が $A$ なら

$$ A,\ C,\ B,\ A,\ C,\ B,\ \cdots $$

1回目の勝者が $B$ なら

$$ B,\ C,\ A,\ B,\ C,\ A,\ \cdots $$

となる。

解法1

まず、(1)を求める。

6回までに優勝者が決まらないためには、2回目から6回目までの5回すべてで、前回の勝者が負けなければならない。

各回で前回の勝者が負ける確率は $\dfrac{1}{2}$ であり、各ジャンケンの結果は独立であるから、求める確率は

$$ \left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{1}{32} $$

である。

次に、(2)を求める。

$C$ が優勝するためには、ある回で $C$ が2回連続で勝者になればよい。優勝が決まらないまま進む場合、勝者の並びは次のようになる。

1回目の勝者が $A$ のとき

$$ A,\ C,\ B,\ A,\ C,\ B,\ A,\ C,\ B,\ A,\cdots $$

1回目の勝者が $B$ のとき

$$ B,\ C,\ A,\ B,\ C,\ A,\ B,\ C,\ A,\ B,\cdots $$

いずれの場合も、優勝が決まらないまま進むなら、$C$ は2回目、5回目、8回目の勝者になる。したがって、$C$ が優勝する可能性があるのは、その直後の

$$ 3,\ 6,\ 9 $$

回目である。

まず、$C$ が3回目に優勝する確率を求める。

1回目の勝者は $A$ または $B$ のどちらでもよい。2回目に $C$ が勝ち、さらに3回目にも $C$ が勝てばよいから

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} &= \frac{1}{4} \end{aligned} $$

である。

次に、$C$ が6回目に優勝する確率を求める。

これは、2回目から5回目まで優勝が決まらず、5回目の勝者が $C$ となり、6回目にも $C$ が勝つ場合である。したがって

$$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{2}\right)^4\cdot \frac{1}{2} &= \frac{1}{32} \end{aligned} $$

である。

同様に、$C$ が9回目に優勝する確率は、2回目から8回目まで優勝が決まらず、9回目に $C$ が連勝する場合だから

$$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{2}\right)^7\cdot \frac{1}{2} &= \frac{1}{256} \end{aligned} $$

である。

10回目までに $C$ が優勝する場合は、3回目、6回目、9回目に $C$ が優勝する場合に限られる。よって求める確率は

$$ \begin{aligned} \frac{1}{4}+\frac{1}{32}+\frac{1}{256} &= \frac{64+8+1}{256} \\ \frac{73}{256} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の核心は、「優勝が決まらずに続く」という条件を、各回で前回の勝者が負けることとして捉える点である。

また、試合が続く限り、勝者は3人の間で周期的に移り変わる。$C$ が優勝するには、$C$ が勝者になった直後の回で再び勝てばよいので、$C$ が勝者になる回を調べればよい。

10回目までを直接すべて場合分けすると複雑に見えるが、勝者列の周期性に注目すれば、$C$ の優勝可能回が $3,6,9$ 回目に限られることが分かる。

答え

(1)

$$ \frac{1}{32} $$

(2)

$$ \frac{73}{256} $$