数学A 数列･確率(数B) 問題 1 解説

方針・初手

Aが $k$ 回目で勝つには、それ以前にAもBも一度も $1$ を出さず、Aの $k$ 回目で初めて $1$ が出ればよい。

サイコロで $1$ が出ない確率は $\dfrac{5}{6}$、$1$ が出る確率は $\dfrac{1}{6}$ であるから、まず「Aが $k$ 回目に勝つ確率」を求め、それを $k=1$ から $n$ まで足し合わせる。

解法1

（1） Aが $k$ 回目で勝つためには、次の条件が必要である。

Aの $1$ 回目から $k-1$ 回目まで、Bの $1$ 回目から $k-1$ 回目まで、すべて $1$ が出ない。そして、Aの $k$ 回目で $1$ が出る。

Aの $k$ 回目より前には、AとBを合わせて $2(k-1)$ 回の投球がある。したがって、そのすべてで $1$ が出ない確率は

$$ \left(\frac{5}{6}\right)^{2(k-1)} $$

である。

そのうえで、Aの $k$ 回目に $1$ が出る確率は $\dfrac{1}{6}$ であるから、求める確率は

$$ \begin{aligned} \left(\frac{5}{6}\right)^{2(k-1)} \cdot \frac{1}{6} &= \frac{1}{6}\left(\frac{25}{36}\right)^{k-1} \end{aligned} $$

である。

（2） Aが勝つのは、Aの $1$ 回目、$2$ 回目、$\cdots$、$n$ 回目のいずれかで勝つ場合である。

したがって

$$ \begin{aligned} P_n &= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{6}\left(\frac{25}{36}\right)^{k-1} \end{aligned} $$

である。

これは初項 $\dfrac{1}{6}$、公比 $\dfrac{25}{36}$ の等比数列の和なので、

$$ \begin{aligned} P_n &= \frac{1}{6} \cdot \frac{1-\left(\frac{25}{36}\right)^n}{1-\frac{25}{36}} \\ &= \frac{1}{6} \cdot \frac{1-\left(\frac{25}{36}\right)^n}{\frac{11}{36}} \\ &= \frac{6}{11} \left\{ 1-\left(\frac{25}{36}\right)^n \right\} \end{aligned} $$

である。

(3)

$$ P_n>\frac{1}{2} $$

となる条件を調べる。

$$ \frac{6}{11} \left\{ 1-\left(\frac{25}{36}\right)^n \right\} > \frac{1}{2} $$

より、

$$ 1-\left(\frac{25}{36}\right)^n > \frac{11}{12} $$

したがって

$$ \left(\frac{25}{36}\right)^n < \frac{1}{12} $$

であればよい。

両辺の逆数をとると、

$$ \left(\frac{36}{25}\right)^n > 12 $$

である。

常用対数をとると、

$$ n\log_{10}\frac{36}{25} > \log_{10}12 $$

である。

ここで

$$ \begin{aligned} \log_{10}\frac{36}{25} &= \log_{10}36-\log_{10}25 \end{aligned} $$

である。

与えられた値から、

$$ \begin{aligned} \log_{10}36 &= 2\log_{10}6 \\ 2(\log_{10}2+\log_{10}3) \\ 2(0.3010+0.4771) \\ 1.5562 \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} \log_{10}25 &= 2\log_{10}5 \\ 2(1-\log_{10}2) \\ 2(1-0.3010) \\ 1.3980 \end{aligned} $$

したがって

$$ \begin{aligned} \log_{10}\frac{36}{25} &= 1.5562-1.3980 \\ 0.1582 \end{aligned} $$

である。

また、

$$ \begin{aligned} \log_{10}12 &= \log_{10}3+\log_{10}4 \\ 0.4771+2\cdot 0.3010 \\ 1.0791 \end{aligned} $$

よって

$$ n\cdot 0.1582>1.0791 $$

となる。

実際に調べると、

$$ 6\cdot 0.1582=0.9492<1.0791 $$

であり、

$$ 7\cdot 0.1582=1.1074>1.0791 $$

である。

したがって、最小の $n$ は

$$ n=7 $$

である。

解説

この問題では、Aが先に投げるため、Aが勝つ確率はBより少し大きくなる。ただし、Aが $n$ 回投げても勝負がつかなければBの勝ちになるので、Aの勝ち方は「Aの $1$ 回目から $n$ 回目までのどこかで初めて $1$ を出す場合」に限られる。

重要なのは、Aの $k$ 回目で勝つには、直前までにAもBも $1$ を出していない必要がある点である。ここを数え落とすと、単に $\dfrac{1}{6}$ を足すような誤った計算になる。

答え

(1)

$$ \frac{1}{6}\left(\frac{25}{36}\right)^{k-1} $$

(2)

$$ \begin{aligned} P_n &= \frac{6}{11} \left\{ 1-\left(\frac{25}{36}\right)^n \right\} \end{aligned} $$

(3)

$$ n=7 $$