数学A 数列･確率(数B) 問題 4 解説

方針・初手

座標そのものではなく、偶数か奇数かだけに注目する。

出た目が $5$ 以上のときは $2$ 進むので偶奇は変わらない。出た目が $4$ 以下のときは $1$ 進むので偶奇が入れ替わる。したがって、偶数座標にいる確率だけを追えばよい。

解法1

出た目が $5$ 以上である確率は

$$ \frac{2}{6}=\frac{1}{3} $$

出た目が $4$ 以下である確率は

$$ \frac{4}{6}=\frac{2}{3} $$

である。

(1)

最初は原点、すなわち偶数座標にいる。

1回投げた後に偶数座標にいるのは、$2$ 進む場合であるから、

$$ a_1=\frac{1}{3} $$

である。

2回投げた後に偶数座標にいるには、偶数座標にいる状態で $2$ 進むか、奇数座標にいる状態で $1$ 進めばよい。したがって、

$$ a_2=\frac{1}{3}a_1+\frac{2}{3}(1-a_1) $$

より、

$$ a_2=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3} =\frac{1}{9}+\frac{4}{9} =\frac{5}{9} $$

である。

同様に、

$$ a_3=\frac{1}{3}a_2+\frac{2}{3}(1-a_2) $$

より、

$$ a_3=\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{9}+\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{9} =\frac{5}{27}+\frac{8}{27} =\frac{13}{27} $$

である。

(2)

$n$ 回投げた後に偶数座標にいる確率は $a_n$ であり、奇数座標にいる確率は $1-a_n$ である。

$n+1$ 回目の後に偶数座標にいる場合は次の2通りである。

偶数座標にいて $2$ 進む場合、または奇数座標にいて $1$ 進む場合である。したがって、

$$ \begin{aligned} a_{n+1} &= \frac{1}{3}a_n+\frac{2}{3}(1-a_n) \end{aligned} $$

これを整理すると、

$$ \begin{aligned} a_{n+1} &= \frac{2}{3}-\frac{1}{3}a_n \end{aligned} $$

である。

(3)

漸化式

$$ \begin{aligned} a_{n+1} &= -\frac{1}{3}a_n+\frac{2}{3} \end{aligned} $$

を解く。

定数解を $\alpha$ とすると、

$$ \begin{aligned} \alpha &= -\frac{1}{3}\alpha+\frac{2}{3} \end{aligned} $$

より、

$$ \frac{4}{3}\alpha=\frac{2}{3} $$

したがって、

$$ \alpha=\frac{1}{2} $$

である。

よって、漸化式を

$$ \begin{aligned} a_{n+1}-\frac{1}{2} &= -\frac{1}{3}\left(a_n-\frac{1}{2}\right) \end{aligned} $$

と変形できる。

したがって、数列 $\left\{a_n-\frac{1}{2}\right\}$ は公比 $-\frac{1}{3}$ の等比数列である。

また、

$$ \begin{aligned} a_1-\frac{1}{2} &= \frac{1}{3}-\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{6} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} a_n-\frac{1}{2} &= -\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1} \end{aligned} $$

となる。

これを整理すると、

$$ \begin{aligned} a_n &= \frac{1}{2}+\frac{(-1)^n}{2\cdot 3^n} \end{aligned} $$

である。

すなわち、

$$ \begin{aligned} a_n &= \frac{3^n+(-1)^n}{2\cdot 3^n} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、点 $P$ の座標を直接追う必要はない。重要なのは座標の偶奇だけである。

$2$ 進む操作は偶奇を変えず、$1$ 進む操作は偶奇を反転させる。この性質から、偶数座標にいる確率 $a_n$ と奇数座標にいる確率 $1-a_n$ だけで次の確率を表せる。

漸化式は一次式

$$ \begin{aligned} a_{n+1} &= -\frac{1}{3}a_n+\frac{2}{3} \end{aligned} $$

になるので、定数解 $\frac{1}{2}$ を引いて等比数列に直すのが基本処理である。

答え

(1)

$$ a_1=\frac{1}{3},\qquad a_2=\frac{5}{9},\qquad a_3=\frac{13}{27} $$

(2)

$$ \begin{aligned} a_{n+1} &= \frac{2}{3}-\frac{1}{3}a_n \end{aligned} $$

(3)

$$ \begin{aligned} a_n &= \frac{3^n+(-1)^n}{2\cdot 3^n} \end{aligned} $$