数学A 数列･確率(数B) 問題 5 解説

方針・初手

$n$ 回目に操作が終了するには、$n$ 回目に $1$ が出て、さらにそれ以前の $n-1$ 回のうちちょうど $2$ 回だけ $1$ が出ていればよい。

したがって、反復試行における「3回目の成功が $n$ 回目に起こる確率」として数える。

解法1

$n$ 回目で操作が終了するには、次の2つが同時に成り立てばよい。

• $1$ 回目から $n-1$ 回目までに、$1$ の目がちょうど $2$ 回出る。
• $n$ 回目に $1$ の目が出る。

まず、$1$ 回目から $n-1$ 回目までのうち、$1$ の目が出る $2$ 回を選ぶ方法は

$$ {}_{n-1}\mathrm{C}_{2} $$

通りである。

その $2$ 回では $1$ が出て、残りの $n-3$ 回では $1$ 以外が出る。また、$n$ 回目には $1$ が出る。よって

$$ p_n={}_{n-1}\mathrm{C}_{2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^{n-3}\cdot \frac{1}{6} $$

である。したがって

$$ p_n={}_{n-1}\mathrm{C}_{2}\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^{n-3} $$

すなわち

$$ p_n={}_{n-1}\mathrm{C}_{2}\frac{5^{n-3}}{6^n} $$

である。

特に、

$$ p_3={}_{2}\mathrm{C}_{2}\left(\frac{1}{6}\right)^3=\frac{1}{216} $$

であり、

$$ p_4={}_{3}\mathrm{C}_{2}\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)=\frac{5}{432} $$

である。

次に、$p_n=p_{n+1}$ となる $n$ を求める。

$$ p_n={}_{n-1}\mathrm{C}_{2}\frac{5^{n-3}}{6^n} $$

より、

$$ p_{n+1}={}_{n}\mathrm{C}_{2}\frac{5^{n-2}}{6^{n+1}} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} \frac{p_{n+1}}{p_n} &= \frac{{}_{n}\mathrm{C}_{2}}{{}_{n-1}\mathrm{C}_{2}}\cdot \frac{5}{6} \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ \begin{aligned} \frac{{}_{n}\mathrm{C}_{2}}{{}_{n-1}\mathrm{C}_{2}} &= \frac{\frac{n(n-1)}{2}}{\frac{(n-1)(n-2)}{2}} \\ \frac{n}{n-2} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{p_{n+1}}{p_n} &= \frac{5n}{6(n-2)} \end{aligned} $$

である。

$p_n=p_{n+1}$ となる条件は

$$ \frac{5n}{6(n-2)}=1 $$

である。これを解くと

$$ 5n=6n-12 $$

より

$$ n=12 $$

である。

したがって、$p_n=p_{n+1}$ となるのは $n=12$ のときである。

次に、$p_n$ が最大となる $n$ を求める。

先ほどの比

$$ \begin{aligned} \frac{p_{n+1}}{p_n} &= \frac{5n}{6(n-2)} \end{aligned} $$

を用いる。

$p_{n+1}>p_n$ となる条件は

$$ \frac{5n}{6(n-2)}>1 $$

である。$n\geqq 3$ なので $6(n-2)>0$ であり、

$$ 5n>6n-12 $$

より

$$ n<12 $$

である。

また、$p_{n+1}=p_n$ となるのは $n=12$ のときであり、$p_{n+1}<p_n$ となるのは $n>12$ のときである。

したがって、数列 $p_n$ は

$$ p_3<p_4<\cdots <p_{12}=p_{13}>p_{14}>\cdots $$

となる。

よって、$p_n$ が最大となるのは

$$ n=12,\ 13 $$

のときである。

解説

この問題は、「ちょうど $n$ 回目に3回目の $1$ が出る」という条件を正確に数えることが核心である。

$n$ 回目で終了するには、$n$ 回目が $1$ であるだけでは不十分であり、それ以前に $1$ がちょうど $2$ 回出ている必要がある。この条件を落とすと、単に「$n$ 回目に $1$ が出る確率」や「$n$ 回以内に3回出る確率」と混同して誤答になる。

最大値を求める場面では、$p_n$ を直接微分するのではなく、離散的な数列なので隣り合う項の比 $\dfrac{p_{n+1}}{p_n}$ を調べるのが自然である。比が $1$ より大きいか小さいかを見れば、増減が判定できる。

答え

(1)

$$ p_3=\frac{1}{216} $$

$$ p_4=\frac{5}{432} $$

一般に

$$ \begin{aligned} p_n={}_{n-1}\mathrm{C}_{2}\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^{n-3} &= {}_{n-1}\mathrm{C}_{2}\frac{5^{n-3}}{6^n} \end{aligned} $$

また、

$$ p_n=p_{n+1} $$

となるのは

$$ n=12 $$

のときである。

したがって、

$$ \text{ア}=\frac{1}{216},\quad \text{イ}=\frac{5}{432},\quad \text{ウ}={}_{n-1}\mathrm{C}_{2}\frac{5^{n-3}}{6^n},\quad \text{エ}=12 $$

である。

(2)

$$ n=12,\ 13 $$