数学A 数列･確率(数B) 問題 6 解説

方針・初手

「$6$ の約数の目」は $1,2,3,6$ の $4$ 通りであるから，$1$ 回の投げでその目が出る確率は

$$ \frac{4}{6}=\frac{2}{3} $$

である。

$n$ 回目までに出た回数が奇数になるか偶数になるかだけに注目し，$n-1$ 回目までの状態から $n$ 回目でどう変化するかを考える。

解法1

$6$ の約数の目が出ることを「当たり」と呼ぶことにする。このとき，$1$ 回の投げで当たりが出る確率は $\frac{2}{3}$，出ない確率は $\frac{1}{3}$ である。

まず $p(2)$ を求める。$2$ 回投げて当たりが奇数回出るには，当たりがちょうど $1$ 回出ればよい。したがって

$$ p(2)={}_2\mathrm{C}_{1}\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{9} $$

である。

次に，$p(n)$ と $p(n-1)$ の関係を考える。

$n$ 回投げて当たりの回数が奇数になる場合は，次の $2$ 通りである。

(i)

$n-1$ 回目までに当たりが奇数回出ており，$n$ 回目に当たりが出ない。

(ii)

$n-1$ 回目までに当たりが偶数回出ており，$n$ 回目に当たりが出る。

$n-1$ 回目までに当たりが奇数回出る確率は $p(n-1)$ であるから，偶数回出る確率は $1-p(n-1)$ である。

よって

$$ \begin{aligned} p(n) &=p(n-1)\cdot \frac{1}{3}+{1-p(n-1)}\cdot \frac{2}{3} \\ &=\frac{1}{3}p(n-1)+\frac{2}{3}-\frac{2}{3}p(n-1) \\ &=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}p(n-1) \end{aligned} $$

である。したがって，関係式は

$$ p(n)=\frac{2-p(n-1)}{3} $$

である。

この漸化式を解く。定数解を $\alpha$ とすると

$$ \alpha=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\alpha $$

より，

$$ \frac{4}{3}\alpha=\frac{2}{3} $$

したがって

$$ \alpha=\frac{1}{2} $$

である。そこで，漸化式から $\frac{1}{2}$ を引くと

$$ \begin{aligned} p(n)-\frac{1}{2} &=-\frac{1}{3}\left(p(n-1)-\frac{1}{2}\right) \end{aligned} $$

となる。よって数列 $p(n)-\frac{1}{2}$ は公比 $-\frac{1}{3}$ の等比数列である。

$p(1)=\frac{2}{3}$ だから

$$ p(1)-\frac{1}{2} =\frac{2}{3}-\frac{1}{2} =\frac{1}{6} $$

である。したがって

$$ p(n)-\frac{1}{2} =\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1} $$

となる。

これを整理すると

$$ \begin{aligned} p(n) &=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1} \\ &=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)^n \\ &=\frac{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^n}{2} \end{aligned} $$

である。

解法2

当たりの出る確率を $q=\frac{2}{3}$ とする。$n$ 回中，ちょうど $k$ 回当たりが出る確率は

$$ {}_n\mathrm{C}_{k} q^k(1-q)^{n-k} $$

である。

求める確率は，当たりの回数 $k$ が奇数の場合の和であるから

$$ p(n)=\sum_{\substack{k=1\k\text{ は奇数}}}^{n}{}_n\mathrm{C}_{k} \left(\frac{2}{3}\right)^k \left(\frac{1}{3}\right)^{n-k} $$

である。

ここで二項定理より

$$ \sum_{k=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_{k} \left(\frac{2}{3}\right)^k \left(\frac{1}{3}\right)^{n-k} =1 $$

である。また，偶数回の項から奇数回の項を引く形を考えると

$$ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_{k} \left(-\frac{2}{3}\right)^k \left(\frac{1}{3}\right)^{n-k} &= \left(\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\right)^n \\ \left(-\frac{1}{3}\right)^n \end{aligned} $$

である。

偶数回の確率を $E$，奇数回の確率を $O$ とすると，$O=p(n)$ であり，

$$ E+O=1 $$

かつ

$$ E-O=\left(-\frac{1}{3}\right)^n $$

である。よって

$$ 2O=1-\left(-\frac{1}{3}\right)^n $$

となるので，

$$ p(n)=\frac{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^n}{2} $$

である。

解説

この問題では，「$6$ の約数の目が出る回数そのもの」ではなく，「その回数が奇数か偶数か」に注目することが重要である。

$n$ 回目に $6$ の約数の目が出ると，奇数・偶数が入れ替わる。一方，出なければ奇数・偶数は変わらない。この性質から漸化式

$$ p(n)=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}p(n-1) $$

が得られる。

また，最終式は奇数回成功する確率の標準公式

$$ \frac{1-(1-2q)^n}{2} $$

に $q=\frac{2}{3}$ を代入したものでもある。

答え

$$ \text{(カ)}=\frac{4}{9} $$

$$ \text{(キ)}=\frac{2-p(n-1)}{3} $$

$$ \text{(ク)}=1-\left(-\frac{1}{3}\right)^n $$

したがって

$$ p(n)=\frac{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^n}{2} $$