数学A 数列･確率(数B) 問題 9 解説

方針・初手

$n$ 回目に誰が投げるかは、直前までに $6$ が出ていないことも含めて考える必要がある。

そこで、$n$ 回目に A が投げる確率を $a_n$、$n$ 回目に B が投げる確率を $b_n$ とおく。A が投げる確率だけで漸化式を立てるより、$a_n,b_n$ を同時に扱う方が自然である。

解法1

$n$ 回目に A が投げる確率を $a_n$、B が投げる確率を $b_n$ とする。

初回は A が投げるので、

$$ a_1=1,\qquad b_1=0 $$

である。

$n$ 回目に A が投げたとき、$1,2,3$ が出れば次も A、$4,5$ が出れば次は B、$6$ が出れば終了する。同様に、B が投げた場合も同じ規則で次に投げる人が決まる。

したがって、

$$ \begin{aligned} a_{n+1}&=\frac12 a_n+\frac13 b_n,\\ b_{n+1}&=\frac13 a_n+\frac12 b_n \end{aligned} $$

が成り立つ。

ここで、

$$ s_n=a_n+b_n,\qquad d_n=a_n-b_n $$

とおく。

まず和をとると、

$$ s_{n+1}=\frac56 s_n $$

である。これは、$n$ 回目の投げで $6$ が出なかったときだけ次の投げに進むことを表している。$s_1=1$ より、

$$ s_n=\left(\frac56\right)^{n-1} $$

である。

次に差をとると、

$$ d_{n+1}=\frac16 d_n $$

となる。$d_1=1$ より、

$$ d_n=\left(\frac16\right)^{n-1} $$

である。

$a_n$ は

$$ a_n=\frac{s_n+d_n}{2} $$

だから、

$$ a_n=\frac12\left\{\left(\frac56\right)^{n-1}+\left(\frac16\right)^{n-1}\right\} $$

である。

したがって、(1) の答えは

$$ a_n=\frac12\left\{\left(\frac56\right)^{n-1}+\left(\frac16\right)^{n-1}\right\} $$

である。

次に、ちょうど $n$ 回目のサイコロ投げで A が勝つためには、$n$ 回目に A が投げ、その目が $6$ であればよい。

よって、

$$ p_n=\frac16 a_n $$

である。したがって、

$$ p_n=\frac1{12}\left\{\left(\frac56\right)^{n-1}+\left(\frac16\right)^{n-1}\right\} $$

である。

最後に、$n$ 回以内に A が勝つ確率 $q_n$ は、

$$ q_n=p_1+p_2+\cdots+p_n $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} q_n &=\sum_{k=1}^n \frac1{12}\left\{\left(\frac56\right)^{k-1}+\left(\frac16\right)^{k-1}\right\}\\ &=\frac1{12}\left\{\frac{1-\left(\frac56\right)^n}{1-\frac56}+\frac{1-\left(\frac16\right)^n}{1-\frac16}\right\}\\ &=\frac1{12}\left\{6\left(1-\left(\frac56\right)^n\right)+\frac65\left(1-\left(\frac16\right)^n\right)\right\}\\ &=\frac12\left(1-\left(\frac56\right)^n\right)+\frac1{10}\left(1-\left(\frac16\right)^n\right)\\ &=\frac35-\frac12\left(\frac56\right)^n-\frac1{10}\left(\frac16\right)^n \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題では、「次に誰が投げるか」と「ゲームがまだ続いているか」を同時に扱う必要がある。したがって、単に A と B が交互に投げる問題ではない。

ポイントは、$a_n,b_n$ を導入して連立漸化式を作ることである。そのうえで、和 $a_n+b_n$ と差 $a_n-b_n$ を考えると、それぞれ独立した等比数列になる。

特に、$a_n+b_n$ は「$n$ 回目の投げが存在する確率」であり、これはそれまでに $6$ が一度も出ていない確率だから $\left(\frac56\right)^{n-1}$ になる。また、$a_n-b_n$ は「A 側にどれだけ偏っているか」を表し、規則の対称性から $\left(\frac16\right)^{n-1}$ になる。

答え

(1)

$$ a_n=\frac12\left\{\left(\frac56\right)^{n-1}+\left(\frac16\right)^{n-1}\right\} $$

(2)

$$ p_n=\frac1{12}\left\{\left(\frac56\right)^{n-1}+\left(\frac16\right)^{n-1}\right\} $$

(3)

$$ q_n=\frac35-\frac12\left(\frac56\right)^n-\frac1{10}\left(\frac16\right)^n $$