数学A 数列･確率(数B) 問題 11 解説

方針・初手

$Y_n$ を $7$ で割った余りだけに注目する。さいころの目 $1,2,\ldots,6$ は、$7$ を法として $0$ 以外のすべての余りであるから、$Y_{n-1}$ が $0$ 以外の余りをとるときだけ、次の1回で $7$ の倍数に戻る可能性がある。

また、$Y_n$ が $7$ で割って $1,2,\ldots,6$ の各余りになる確率は等しいことを用いる。

解法1

$Y_n$ が $7$ で割り切れる確率を $p_n$ とする。

まず、$Y_{n-1}$ が $7$ で割って $0$ 以外の余りになる確率は $1-p_{n-1}$ である。

ここで、$7$ を法として $0$ でない各余り $1,2,\ldots,6$ について、$Y_{n-1}$ がその余りになる確率は等しい。実際、さいころの目 $1,2,\ldots,6$ は $7$ を法として $0$ でない余り全体であり、これらを $7$ を法として $0$ でない数倍しても、$1,2,\ldots,6$ が入れ替わるだけである。したがって、$0$ 以外の各余りになる確率は

$$ \frac{1-p_{n-1}}{6} $$

である。

$Y_n=Y_{n-1}+X_n$ が $7$ で割り切れるためには、$Y_{n-1}$ が $7$ で割って $r$ 余るとき、$X_n$ が $-r$ と合同でなければならない。

ただし、$X_n$ は $1,2,\ldots,6$ のいずれかであるから、$r=0$ のときは $X_n\equiv 0\pmod 7$ となる目が存在しない。よって、$r=1,2,\ldots,6$ の場合だけを考えればよい。

各 $r=1,2,\ldots,6$ に対して、$X_n\equiv -r\pmod 7$ となるさいころの目はただ1つであるから、その確率は $\frac{1}{6}$ である。したがって

$$ \begin{aligned} p_n &= 6\cdot \frac{1-p_{n-1}}{6}\cdot \frac{1}{6} \\ \frac{1-p_{n-1}}{6} \end{aligned} $$

である。

よって、求める漸化式は

$$ p_n=\frac{1-p_{n-1}}{6} $$

である。

次にこの漸化式を解く。初期値は、$0$ 回投げたとき $Y_0=0$ と考えれば

$$ p_0=1 $$

である。

漸化式

$$ p_n=\frac{1-p_{n-1}}{6} $$

を変形すると

$$ \begin{aligned} p_n-\frac{1}{7} &= -\frac{1}{6}\left(p_{n-1}-\frac{1}{7}\right) \end{aligned} $$

となる。よって

$$ \begin{aligned} p_n-\frac{1}{7} &= \left(-\frac{1}{6}\right)^n \left(p_0-\frac{1}{7}\right) \end{aligned} $$

である。

$p_0=1$ より

$$ \begin{aligned} p_0-\frac{1}{7} &= \frac{6}{7} \end{aligned} $$

だから、

$$ \begin{aligned} p_n-\frac{1}{7} &= \frac{6}{7}\left(-\frac{1}{6}\right)^n \end{aligned} $$

となる。

したがって

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{1}{7} + \frac{6}{7}\left(-\frac{1}{6}\right)^n \end{aligned} $$

である。

これを整理すると

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{1+6\left(-\frac{1}{6}\right)^n}{7} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の核心は、$Y_n$ の値そのものではなく、$7$ で割った余りだけを追う点である。

さいころの目は $1$ から $6$ までであり、$7$ を法として $0$ 以外の余りがすべて1回ずつ現れる。このため、$Y_{n-1}$ が $0$ 以外のどの余りであっても、次の1回で $7$ の倍数にする目はちょうど1つ存在する。

一方で、$Y_{n-1}$ がすでに $7$ の倍数である場合、次に $0$ を足すことはできないので、$Y_n$ が $7$ の倍数になることはない。この点を見落とすと、漸化式を誤る。

また、$0$ 以外の余りがすべて等確率で現れるという対称性を使うことで、余りごとの確率を個別に計算せずに済む。

答え

(1)

$$ p_n=\frac{1-p_{n-1}}{6} $$

(2)

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{1}{7} + \frac{6}{7}\left(-\frac{1}{6}\right)^n \end{aligned} $$

すなわち

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{1+6\left(-\frac{1}{6}\right)^n}{7} \end{aligned} $$