数学A 数列･確率(数B) 問題 13 解説

方針・初手

点 $A$ は正の向きに $1$ または $2$ だけ進むので、ある点を通り過ぎると二度と戻らない。

したがって、座標 $n+1$ に立ち寄る場合は、次の2通りに分けられる。

• 座標 $n$ に立ち寄り、そこから $1$ 進む。
• 座標 $n$ に立ち寄らず、座標 $n-1$ から $2$ 進んで座標 $n+1$ に着く。

この「座標 $n$ を踏むか、飛び越すか」に注目すると、$p_{n+1}$ を $p_n$ だけで表せる。

解法1

まず、点 $A$ は原点から出発する。座標 $0$ にいるとき、$1$ 進む確率は

$$ \frac{1}{0+1}=1 $$

であるから、必ず座標 $1$ に立ち寄る。よって

$$ p_1=1 $$

である。

(1) $p_2$ を求める

座標 $2$ に立ち寄るには、座標 $1$ から $1$ 進めばよい。

座標 $1$ にいるとき、$1$ 進む確率は

$$ \frac{1}{1+1}=\frac{1}{2} $$

である。したがって

$$ p_2=p_1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2} $$

である。

(2) $p_{n+1}$ を $p_n$ で表す

座標 $n+1$ に立ち寄る確率を考える。

座標 $n$ に立ち寄った場合、そこから座標 $n+1$ に進む確率は

$$ \frac{1}{n+1} $$

である。よって、この場合の確率は

$$ p_n\cdot \frac{1}{n+1} $$

である。

一方、座標 $n$ に立ち寄らなかった場合を考える。点 $A$ は $1$ または $2$ だけ正の向きに進むので、座標 $n$ に立ち寄らずに通過するには、座標 $n-1$ から $2$ 進んで座標 $n+1$ に着くしかない。

したがって、座標 $n$ に立ち寄らなかった場合には、必ず座標 $n+1$ に立ち寄る。この確率は

$$ 1-p_n $$

である。

以上より

$$ p_{n+1}=p_n\cdot \frac{1}{n+1}+(1-p_n) $$

である。整理して

$$ p_{n+1}=1-\frac{n}{n+1}p_n $$

を得る。

(3) $p_n$ を求める

(2)より、$n\geqq 1$ に対して

$$ p_{n+1}=1-\frac{n}{n+1}p_n $$

である。

両辺に $n+1$ をかけると

$$ (n+1)p_{n+1}=n+1-np_n $$

となる。ここで

$$ a_n=np_n $$

とおくと、

$$ a_{n+1}=n+1-a_n $$

となる。すなわち

$$ a_{n+1}+a_n=n+1 $$

である。

この漸化式を解く。$a_n$ の一次式部分を求めるために

$$ a_n=\alpha n+\beta $$

とおくと、

$$ \alpha(n+1)+\beta+n\alpha+\beta=n+1 $$

より、

$$ 2\alpha n+\alpha+2\beta=n+1 $$

である。係数を比較して

$$ \alpha=\frac{1}{2},\qquad \beta=\frac{1}{4} $$

となる。

したがって、一般形は

$$ a_n=\frac{n}{2}+\frac{1}{4}+C(-1)^n $$

である。

また

$$ a_1=1\cdot p_1=1 $$

であるから、

$$ 1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-C $$

より

$$ C=-\frac{1}{4} $$

である。

したがって

$$ a_n=\frac{n}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}(-1)^n $$

であり、

$$ np_n=\frac{2n+1-(-1)^n}{4} $$

となる。よって、$n\geqq 1$ について

$$ p_n=\frac{2n+1-(-1)^n}{4n} $$

である。

偶奇で分けて書くと、

$$ p_n= \begin{cases} \dfrac{1}{2} & (n\text{ が偶数}),\\[6pt] \dfrac{n+1}{2n} & (n\text{ が奇数}) \end{cases} $$

である。

解説

この問題の要点は、座標 $n$ に立ち寄らなかった場合をどう扱うかである。

点 $A$ は $1$ または $2$ だけ進むため、座標 $n$ を踏まずに通過するなら、必ず座標 $n-1$ から座標 $n+1$ へ飛ぶ。そのため「座標 $n$ に立ち寄らない確率」そのものが、座標 $n+1$ に立ち寄る確率の一部になる。

この観察により、$p_{n+1}$ を $p_n$ のみで表せる。あとは $np_n$ とおくことで、交代的な一次漸化式に帰着できる。

答え

(1)

$$ p_2=\frac{1}{2} $$

(2)

$$ p_{n+1}=1-\frac{n}{n+1}p_n $$

(3)

$n\geqq 1$ について

$$ p_n=\frac{2n+1-(-1)^n}{4n} $$

すなわち

$$ p_n= \begin{cases} \dfrac{1}{2} & (n\text{ が偶数}),\\[6pt] \dfrac{n+1}{2n} & (n\text{ が奇数}) \end{cases} $$