数学A 数列･確率(数B) 問題 20 解説

方針・初手

進む距離は毎回 $1$ または $2$ であり、どちらも確率は $\dfrac12$ である。

最終的な距離がちょうど $n$ になる確率は、途中で距離 $n$ に到達する確率と同じである。したがって、最初の1回で $1$ 進む場合と $2$ 進む場合に分けて、漸化式を立てる。

解法1

まず $a_1,a_2,a_3$ を求める。

(1)

$n=1$ のとき、1回目で $1$ 進めば距離がちょうど $1$ となり、$2$ 進めば距離が $2$ となって止まる。

よって

$$ a_1=\frac12 $$

である。

$n=2$ のとき、距離がちょうど $2$ で止まるのは、次の2通りである。

（i） 1回目に $2$ 進む。

（ii） 1回目に $1$ 進み、2回目に $1$ 進む。

したがって

$$ a_2=\frac12+\frac12\cdot\frac12=\frac34 $$

である。

$n=3$ のとき、距離がちょうど $3$ になる進み方は

$$ 1+1+1,\quad 1+2,\quad 2+1 $$

である。それぞれの確率を足して

$$ a_3=\left(\frac12\right)^3+\frac12\cdot\frac12+\frac12\cdot\frac12 =\frac18+\frac14+\frac14 =\frac58 $$

となる。

次に漸化式を立てる。

(2)

距離がちょうど $n+2$ になるためには、最初の1回について次の2通りがある。

（i） 最初に $1$ 進み、その後、残り $n+1$ だけちょうど進む。

（ii） 最初に $2$ 進み、その後、残り $n$ だけちょうど進む。

それぞれの確率は

$$ \frac12 a_{n+1},\quad \frac12 a_n $$

であるから、

$$ a_{n+2}=\frac12a_{n+1}+\frac12a_n $$

である。

したがって

$$ a_{n+2}=\frac{a_{n+1}+a_n}{2} $$

である。

(3)

$b_n=a_{n+1}-a_n$ より、

$$ \begin{aligned} b_{n+1} &=a_{n+2}-a_{n+1} \\ &=\frac{a_{n+1}+a_n}{2}-a_{n+1} \\ &=\frac{a_n-a_{n+1}}{2} \\ &=-\frac12(a_{n+1}-a_n) \\ &=-\frac12 b_n \end{aligned} $$

となる。

よって

$$ b_{n+1}=-\frac12 b_n $$

である。

(4)

まず

$$ b_1=a_2-a_1=\frac34-\frac12=\frac14 $$

である。

また、（3） より

$$ b_{n+1}=-\frac12 b_n $$

だから、$b_n$ は初項 $\dfrac14$、公比 $-\dfrac12$ の等比数列である。

したがって

$$ b_n=\frac14\left(-\frac12\right)^{n-1} $$

である。これを整理すると

$$ b_n=\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n+1}} $$

である。

次に $a_n$ を求める。$b_n=a_{n+1}-a_n$ だから、

$$ a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k $$

である。よって

$$ \begin{aligned} a_n &=\frac12+\sum_{k=1}^{n-1}\frac14\left(-\frac12\right)^{k-1} \\ &=\frac12+\frac14\cdot \frac{1-\left(-\frac12\right)^{n-1}}{1-\left(-\frac12\right)} \\ &=\frac12+\frac14\cdot \frac{1-\left(-\frac12\right)^{n-1}}{\frac32} \\ &=\frac12+\frac16\left\{1-\left(-\frac12\right)^{n-1}\right\} \\ &=\frac23-\frac16\left(-\frac12\right)^{n-1} \end{aligned} $$

したがって

$$ a_n=\frac23+\frac{(-1)^n}{3\cdot 2^n} $$

である。

解説

この問題の本質は、最終的にちょうど $n$ に到達する確率を、最初の1回の結果で分けることである。

最初に $1$ 進めば残りは $n+1$ 型の問題、最初に $2$ 進めば残りは $n$ 型の問題になる。これにより

$$ a_{n+2}=\frac{a_{n+1}+a_n}{2} $$

という2項間ではなく3項間の漸化式が得られる。

そのまま $a_n$ を解いてもよいが、問題で $b_n=a_{n+1}-a_n$ が定義されているので、差をとると

$$ b_{n+1}=-\frac12 b_n $$

となり、等比数列に帰着できる。これがこの問題の狙いである。

答え

(1)

$$ a_1=\frac12,\quad a_2=\frac34,\quad a_3=\frac58 $$

(2)

$$ a_{n+2}=\frac{a_{n+1}+a_n}{2} $$

(3)

$$ b_{n+1}=-\frac12 b_n $$

(4)

$$ b_n=\frac14\left(-\frac12\right)^{n-1} =\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n+1}} $$

$$ a_n=\frac23-\frac16\left(-\frac12\right)^{n-1} =\frac23+\frac{(-1)^n}{3\cdot 2^n} $$