数学A 数列･確率(数B) 問題 19 解説

方針・初手

線分の左端 $A$ の座標を $-n$ とすると、$A$ が原点に近づく正の向きへの移動では $n$ が $1$ 減り、負の向きへの移動では $n$ が $1$ 増える。

したがって、$p_n$ は状態 $n$ から始めたときに、先に $n=0$ に到達する確率である。端の条件は、$n=0$ なら $A$ が原点にあるので $p_0=1$、$n=a$ なら右端 $B$ が原点にあるので $p_a=0$ である。

解法1

さいころの目が $2$ 以下である確率は

$$ \frac{2}{6}=\frac{1}{3} $$

であり、このとき線分は正の方向へ $1$ だけ動く。左端 $A$ の座標が $-n$ から $-n+1=-(n-1)$ になるので、状態は $n-1$ に移る。

一方、さいころの目が $3$ 以上である確率は

$$ \frac{4}{6}=\frac{2}{3} $$

であり、このとき線分は負の方向へ $1$ だけ動く。左端 $A$ の座標が $-n$ から $-n-1=-(n+1)$ になるので、状態は $n+1$ に移る。

よって、$0<n<a$ に対して

$$ p_n=\frac{1}{3}p_{n-1}+\frac{2}{3}p_{n+1} $$

である。これが(1)の答えである。

次に、この漸化式を解く。両辺を $3$ 倍して整理すると

$$ 3p_n=p_{n-1}+2p_{n+1} $$

すなわち

$$ 2p_{n+1}-3p_n+p_{n-1}=0 $$

である。

特性方程式は

$$ 2r^2-3r+1=0 $$

であり、因数分解すると

$$ (2r-1)(r-1)=0 $$

となる。したがって

$$ r=1,\ \frac{1}{2} $$

である。

よって一般項は

$$ p_n=C+D\left(\frac{1}{2}\right)^n $$

とおける。

条件 $p_0=1$ より

$$ C+D=1 $$

である。また、$p_a=0$ より

$$ C+D\left(\frac{1}{2}\right)^a=0 $$

である。

この2式を解く。$C=1-D$ を代入すると

$$ 1-D+D\left(\frac{1}{2}\right)^a=0 $$

だから

$$ D\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^a\right)=1 $$

となる。よって

$$ D=\frac{1}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^a} $$

であり、

$$ C=1-\frac{1}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^a} =-\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^a}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^a} $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} p_n &= -\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^a}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^a} + \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^a} \end{aligned} $$

より

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n-\left(\frac{1}{2}\right)^a}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^a} \end{aligned} $$

である。

分子分母に $2^a$ をかけると

$$ p_n=\frac{2^{a-n}-1}{2^a-1} $$

となる。

解説

この問題は、線分そのものを見るよりも、左端 $A$ から原点までの距離を表す状態 $n$ に注目すると単純な確率漸化式になる。

正の方向へ動くと $A$ は原点に近づくので $n\to n-1$、負の方向へ動くと遠ざかるので $n\to n+1$ である。右端 $B$ が原点に到達するのは、左端 $A$ が座標 $-a$ にあるときであり、これは状態 $n=a$ に対応する。

漸化式は2階線形漸化式であり、境界条件 $p_0=1,\ p_a=0$ を用いて定数を決めればよい。確率が対称でないため、答えは一次式ではなく等比型になる点が重要である。

答え

(1)

$$ p_n=\frac{1}{3}p_{n-1}+\frac{2}{3}p_{n+1} \qquad (0<n<a) $$

(2)

$$ \begin{aligned} p_n=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n-\left(\frac{1}{2}\right)^a}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^a} &= \frac{2^{a-n}-1}{2^a-1} \end{aligned} $$