数学A 数列･確率(数B) 問題 33 解説

方針・初手

時刻 $n+1$ に部屋 A にいる確率 $a_{n+1}$ は、時刻 $n$ に A にいてそのまま A に残る場合と、時刻 $n$ に B にいて A に移る場合の和で表す。

また、常にどちらか一方の部屋にいるので $a_n+b_n=1$ を用いて、$a_n$ だけの漸化式に直す。

解法1

時刻 $n+1$ に部屋 A にいるのは、次の2通りである。

時刻 $n$ に部屋 A にいて、確率 $\dfrac{9}{10}$ で部屋 A にとどまる。

時刻 $n$ に部屋 B にいて、確率 $\dfrac{1}{15}$ で部屋 A に移る。

したがって、

$$ a_{n+1}=\frac{9}{10}a_n+\frac{1}{15}b_n $$

である。

また、各時刻で部屋 A, B のどちらかにいるから、

$$ a_n+b_n=1 $$

より、

$$ b_n=1-a_n $$

である。これを代入すると、

$$ \begin{aligned} a_{n+1} &=\frac{9}{10}a_n+\frac{1}{15}(1-a_n)\\ &=\left(\frac{9}{10}-\frac{1}{15}\right)a_n+\frac{1}{15}\\ &=\frac{5}{6}a_n+\frac{1}{15} \end{aligned} $$

となる。

よって、

$$ a_{n+1}=\frac{5}{6}a_n+\frac{1}{15} $$

である。

この漸化式の定数解を $\alpha$ とおくと、

$$ \alpha=\frac{5}{6}\alpha+\frac{1}{15} $$

より、

$$ \frac{1}{6}\alpha=\frac{1}{15} $$

したがって、

$$ \alpha=\frac{2}{5} $$

である。

そこで、漸化式から定数解を引くと、

$$ \begin{aligned} a_{n+1}-\frac{2}{5} &= \frac{5}{6}\left(a_n-\frac{2}{5}\right) \end{aligned} $$

となる。

初期条件 $a_0=1$ より、

$$ a_0-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} a_n-\frac{2}{5} &= \frac{3}{5}\left(\frac{5}{6}\right)^n \end{aligned} $$

したがって、

$$ a_n=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}\left(\frac{5}{6}\right)^n $$

である。

次に、$a_n<b_n$ となる条件を求める。$b_n=1-a_n$ であるから、

$$ a_n<b_n $$

は、

$$ a_n<\frac{1}{2} $$

と同値である。

一般項を代入すると、

$$ \frac{2}{5}+\frac{3}{5}\left(\frac{5}{6}\right)^n<\frac{1}{2} $$

である。これを整理すると、

$$ \frac{3}{5}\left(\frac{5}{6}\right)^n<\frac{1}{10} $$

すなわち、

$$ \left(\frac{5}{6}\right)^n<\frac{1}{6} $$

である。

両辺の常用対数をとると、

$$ n\log_{10}\frac{5}{6}<\log_{10}\frac{1}{6} $$

である。

与えられた近似値を用いると、

$$ \begin{aligned} \log_{10}\frac{5}{6} &= \log_{10}5-\log_{10}6 \\ 0.70-(0.30+0.48) \\ -0.08 \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} \log_{10}\frac{1}{6} &= -\log_{10}6 \\ -(0.30+0.48) \\ -0.78 \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ -0.08n<-0.78 $$

より、

$$ n>9.75 $$

となる。よって、最小の自然数 $n$ は

$$ n=10 $$

である。

解説

この問題の中心は、2状態の確率推移を漸化式にすることである。

直接 $a_n,b_n$ の2本の漸化式を扱うこともできるが、常に $a_n+b_n=1$ が成り立つため、$b_n=1-a_n$ として $a_n$ だけの1次漸化式に直すのが最も簡単である。

得られる漸化式

$$ a_{n+1}=\frac{5}{6}a_n+\frac{1}{15} $$

は、定数解 $\dfrac{2}{5}$ を引くことで等比数列に帰着できる。ここで定数解を使わずに反復計算だけで進めると、一般項を求める部分で計算が煩雑になりやすい。

答え

$$ \begin{aligned} a_{n+1}=\frac{9}{10}a_n+\frac{1}{15}b_n &= \frac{5}{6}a_n+\frac{1}{15} \end{aligned} $$

したがって、空欄は

$$ \boxed{\frac{9}{10}},\quad \boxed{\frac{1}{15}},\quad \boxed{\frac{5}{6}} $$

である。

また、

$$ a_n=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}\left(\frac{5}{6}\right)^n $$

である。

さらに、$a_n<b_n$ となる最小の自然数 $n$ は

$$ \boxed{10} $$

である。