数学A 数列･確率(数B) 問題 38 解説

方針・初手

点 $P$ が頂点 $A$ にいる確率を $a_n$ とする。対称性より、$n$ 回後に $A$ 以外、すなわち $B,C$ にいる確率は等しい。したがって、まず $n-1$ 回後の位置から $n$ 回後に $A$ へ移る確率を考える。

解法1

$n-1$ 回硬貨を投げた後、点 $P$ が頂点 $A$ にいる確率は $a_{n-1}$ である。

このとき、点 $P$ が $B$ または $C$ にいる確率は

$$ 1-a_{n-1} $$

である。

点 $P$ が $B$ または $C$ にいるとき、次の1回の移動で頂点 $A$ に移る確率は、それぞれ $\dfrac12$ である。頂点 $A$ にいるときは、次の1回で必ず $B$ または $C$ に移るため、$A$ にとどまることはない。

したがって、$n \geqq 2$ に対して

$$ a_n=\frac12(1-a_{n-1}) $$

である。

次に、この漸化式を解く。

$$ a_n=\frac12(1-a_{n-1}) $$

より

$$ \begin{aligned} a_n-\frac13 &= -\frac12\left(a_{n-1}-\frac13\right) \end{aligned} $$

となる。

また、最初は $A$ にいて、1回移動すると必ず $B$ または $C$ に移るから

$$ a_1=0 $$

である。

よって

$$ \begin{aligned} a_n-\frac13 &= \left(-\frac12\right)^{n-1} \left(a_1-\frac13\right) \end{aligned} $$

となる。ここに $a_1=0$ を代入すると

$$ \begin{aligned} a_n-\frac13 &= -\frac13\left(-\frac12\right)^{n-1} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} a_n &= \frac13-\frac13\left(-\frac12\right)^{n-1} \end{aligned} $$

したがって、

$$ \begin{aligned} a_n &= \frac{1-\left(-\frac12\right)^{n-1}}{3} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、頂点 $B$ と $C$ が対称であることを使うと、状態を「$A$ にいるか、$A$ にいないか」の2つにまとめられる。

$A$ にいると次は必ず $A$ 以外へ移り、$A$ 以外にいると次に $A$ へ移る確率は $\dfrac12$ である。この構造から、確率の漸化式

$$ a_n=\frac12(1-a_{n-1}) $$

が得られる。

あとは定数解 $\dfrac13$ を基準にして、等比型の漸化式へ変形すればよい。

答え

(1)

$$ a_n=\frac12(1-a_{n-1}) \qquad (n \geqq 2) $$

(2)

$$ a_n= \frac{1-\left(-\frac12\right)^{n-1}}{3} \qquad (n \geqq 1) $$