数学A 数列･確率(数B) 問題 39 解説

方針・初手

白いボールは常に $1$ 個だけなので、「白いボールがどの箱に入っているか」だけを追えばよい。

箱 A と箱 C は初期状態でも対称であり、操作の規則も左右対称に対応しているので、各 $n$ について $a_n=c_n$ が成り立つ。この対称性を使って、確率の漸化式を $1$ 本に減らす。

解法1

$n$ 回の試行後に、白いボールが箱 A, B, C に入っている確率をそれぞれ $a_n,b_n,c_n$ とする。初めは白いボールは箱 B に入っているので、

$$ a_0=0,\quad b_0=1,\quad c_0=0 $$

である。

次に、$n$ 回後から $n+1$ 回後への推移を考える。

白いボールが箱 A にあるとき、表が出れば A と B を交換するので白いボールは箱 B に移り、裏が出れば B と C を交換するだけなので白いボールは箱 A に残る。

白いボールが箱 B にあるとき、表が出れば箱 A に移り、裏が出れば箱 C に移る。

白いボールが箱 C にあるとき、表が出れば A と B を交換するだけなので白いボールは箱 C に残り、裏が出れば箱 B に移る。

よって、コインの表裏がそれぞれ確率 $\dfrac12$ で出ることから、

$$ \begin{aligned} a_{n+1}&=\frac12 a_n+\frac12 b_n,\\ b_{n+1}&=\frac12 a_n+\frac12 c_n,\\ c_{n+1}&=\frac12 b_n+\frac12 c_n \end{aligned} $$

が成り立つ。

ここで、初期値は $a_0=c_0=0$ であり、上の漸化式から $a_n=c_n$ ならば

$$ a_{n+1}=\frac12 a_n+\frac12 b_n $$

かつ

$$ c_{n+1}=\frac12 b_n+\frac12 c_n $$

より $a_{n+1}=c_{n+1}$ である。したがって、数学的帰納法によりすべての $n$ について

$$ a_n=c_n $$

である。

そこで

$$ a_n=c_n=x_n $$

とおく。確率の和は $1$ だから、

$$ b_n=1-2x_n $$

である。

先ほどの漸化式

$$ a_{n+1}=\frac12 a_n+\frac12 b_n $$

に代入すると、

$$ x_{n+1} =\frac12 x_n+\frac12(1-2x_n) =\frac{1-x_n}{2} $$

となる。すなわち

$$ x_{n+1}=\frac12-\frac12x_n $$

である。

この漸化式の定数解を求めると、$x=\dfrac12-\dfrac12x$ より

$$ x=\frac13 $$

である。したがって、

$$ x_{n+1}-\frac13=-\frac12\left(x_n-\frac13\right) $$

となる。

初期値 $x_0=0$ より、

$$ \begin{aligned} x_n-\frac13 &= \left(-\frac12\right)^n\left(0-\frac13\right) \end{aligned} $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} x_n &= \frac13-\frac13\left(-\frac12\right)^n \\ \frac13\left\{1-\left(-\frac12\right)^n\right\} \end{aligned} $$

となる。

したがって、

$$ a_n=c_n=\frac13\left\{1-\left(-\frac12\right)^n\right\} $$

である。また、

$$ b_n=1-2x_n $$

だから、

$$ \begin{aligned} b_n &=1-\frac23\left\{1-\left(-\frac12\right)^n\right\}\\ &=\frac13+\frac23\left(-\frac12\right)^n\\ &=\frac13\left\{1+2\left(-\frac12\right)^n\right\} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、赤いボールは $2$ 個あるが、求めるのは白いボールの位置だけである。したがって、赤いボール同士を区別する必要はない。

また、初期状態で箱 A と箱 C はどちらも赤いボールを持っており、操作規則も A と C に関して対称的に働く。そのため $a_n=c_n$ に気づけると、$3$ つの確率を追う問題が $1$ つの漸化式に帰着される。

得られる漸化式

$$ x_{n+1}=\frac{1-x_n}{2} $$

は、定数解 $\dfrac13$ との差を取ると等比数列になる。最終的には、試行回数が増えるにつれて白いボールの位置は各箱にほぼ等確率で分布し、極限は

$$ a_n,b_n,c_n \to \frac13 $$

となる。

答え

$$ \boxed{ a_n=\frac13\left\{1-\left(-\frac12\right)^n\right\} } $$

$$ \boxed{ b_n=\frac13\left\{1+2\left(-\frac12\right)^n\right\} } $$

$$ \boxed{ c_n=\frac13\left\{1-\left(-\frac12\right)^n\right\} } $$