数学A 数列･確率(数B) 問題 46 解説

方針・初手

$Y_n$ は、隣り合う2回の投げ方がともに表である箇所の個数である。したがって、$Y_n$ の偶奇だけを追えばよい。

偶数になる場合と奇数になる場合を直接数えるより、長さ $j$ の列について「偶数個の場合の数 $-$ 奇数個の場合の数」を、最後の値が $0$ か $1$ かで分けて調べる。

解法1

長さ $j$ の $0,1$ の列について、$Y_j$ が偶数である列の個数から奇数である列の個数を引いたものを、最後の値ごとに分けて考える。

最後が $0$ である列についての差を $A_j$、最後が $1$ である列についての差を $B_j$ とする。

長さ $1$ の列では隣り合う組がないので、便宜上 $Y_1=0$ と考える。このとき

$$ A_1=1,\qquad B_1=1 $$

である。

長さ $j$ の列に新しく $0$ を付け加えると、最後にできる積は $X_j\cdot 0=0$ であるから、$Y$ の偶奇は変わらない。したがって

$$ A_{j+1}=A_j+B_j $$

である。

一方、新しく $1$ を付け加えると、直前の最後の値が $0$ なら $0\cdot 1=0$ なので偶奇は変わらないが、直前の最後の値が $1$ なら $1\cdot 1=1$ が新たに加わるので偶奇が反転する。よって

$$ B_{j+1}=A_j-B_j $$

である。

したがって

$$ \begin{pmatrix} A_{j+1}\\ B_{j+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_j\\ B_j \end{pmatrix} $$

となる。ここで

$$ \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 2&0\\ 0&2 \end{pmatrix} $$

であるから、2回進めるごとに $A_j,B_j$ はともに $2$ 倍される。

全体での「偶数の場合の数 $-$ 奇数の場合の数」を

$$ S_j=A_j+B_j $$

とおくと、

$$ S_{j+2}=2S_j $$

である。また

$$ S_1=A_1+B_1=2 $$

であり、長さ $2$ については

$$ A_2=A_1+B_1=2,\qquad B_2=A_1-B_1=0 $$

より

$$ S_2=2 $$

である。

よって、$m$ を正の整数として

$$ S_{2m}=2^m,\qquad S_{2m+1}=2^{m+1} $$

となる。これはまとめて

$$ S_n=2^{\lceil n/2\rceil} $$

と書ける。

いま、$Y_n$ が偶数である列の個数を $E_n$、奇数である列の個数を $O_n$ とすると、全事象は $2^n$ 通りであるから

$$ E_n+O_n=2^n $$

である。また、$S_n$ の定義より

$$ E_n-O_n=S_n $$

である。したがって

$$ O_n=\frac{2^n-S_n}{2} $$

である。

求める確率 $p_n$ は

$$ p_n=\frac{O_n}{2^n} =\frac{2^n-S_n}{2^{n+1}} =\frac{1}{2}\left(1-\frac{S_n}{2^n}\right) $$

である。ここで

$$ \begin{aligned} \frac{S_n}{2^n} &= \frac{2^{\lceil n/2\rceil}}{2^n} \\ 2^{-\lfloor n/2\rfloor} \end{aligned} $$

だから、

$$ p_n=\frac{1}{2}\left(1-2^{-\lfloor n/2\rfloor}\right) $$

を得る。

解説

この問題では、$X_{k-1}X_k$ どうしが互いに独立ではない。例えば $X_1X_2$ と $X_2X_3$ はどちらも $X_2$ を含むため、単純に二項分布で処理することはできない。

重要なのは、$Y_n$ の値そのものではなく偶奇だけを追えばよい点である。新しい $1$ を付け加えたときだけ、直前も $1$ なら $Y_n$ の偶奇が反転する。したがって、「最後の値」と「偶奇」の情報だけで漸化式が閉じる。

また、偶数の場合の数と奇数の場合の数を別々に数える代わりに、その差を扱うと、偶奇の反転が符号の反転として処理できるため計算が短くなる。

答え

$$ p_n=\frac{1}{2}\left(1-2^{-\lfloor n/2\rfloor}\right) $$

すなわち、$n=2m$ または $n=2m+1$ のとき

$$ p_n=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2^m}\right) $$

である。