数学A n進法 問題 1 解説

方針・初手

四進法の3桁の数を $abc_{(4)}$ とおく。ただし、四進法の数字であるから $a,b,c$ は $0,1,2,3$ のいずれかであり、3桁の数なので $a\neq 0$ である。

もとの数の十進法での値と、数字列 $abc$ を十進法の3桁の数として読んだ値を、それぞれ式で表す。

解法1

四進法で表された数が $abc_{(4)}$ であるとすると、もとの数の十進法での値は

$$ 16a+4b+c $$

である。

一方、同じ数字列を十進法の3桁の数として読むと、

$$ 100a+10b+c $$

である。

これが、もとの数の5倍になるので、

$$ 100a+10b+c=5(16a+4b+c) $$

が成り立つ。これを整理すると、

$$ 100a+10b+c=80a+20b+5c $$

より、

$$ 20a-10b-4c=0 $$

すなわち

$$ 10a=5b+2c $$

となる。

ここで、$a$ は $1,2,3$ のいずれか、$b,c$ は $0,1,2,3$ のいずれかである。

(i)

$a=1$ のとき

$$ 10=5b+2c $$

である。$b=0,1,2,3$ を調べると、$b=2$ のとき

$$ 10=10+2c $$

となり、$c=0$ を得る。他の場合は $c$ が $0,1,2,3$ の整数にならない。

したがって、

$$ (a,b,c)=(1,2,0) $$

である。

(ii)

$a=2$ のとき

$$ 20=5b+2c $$

である。しかし、$b,c\leq 3$ なので

$$ 5b+2c\leq 5\cdot 3+2\cdot 3=21 $$

ではあるが、実際に $b=0,1,2,3$ を調べても $c$ は $0,1,2,3$ の整数にならない。

(iii)

$a=3$ のとき

$$ 30=5b+2c $$

である。しかし、

$$ 5b+2c\leq 21 $$

なので不可能である。

よって、条件を満たすのは

$$ abc_{(4)}=120_{(4)} $$

のみである。

実際に確認すると、

$$ 120_{(4)}=1\cdot 16+2\cdot 4+0=24 $$

であり、これを十進法の数 $120$ として読むと

$$ 120=5\cdot 24 $$

となるから、条件を満たしている。

解説

ポイントは、「四進法の数としての値」と「同じ数字列を十進法として読んだ値」を区別することである。

四進法の $abc_{(4)}$ は十進法では $16a+4b+c$ である。一方、十進法の3桁の数 $abc$ は $100a+10b+c$ である。この2つを混同すると式が立てられない。

また、四進法の数字は $0,1,2,3$ に限られる。特に先頭の数字 $a$ は3桁の数であるため $0$ ではない。この範囲条件を使って、候補を絞るのが重要である。

答え

$$ 120_{(4)} $$