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名古屋大学 2025年文系第2問解説

方針・初手

与えられた等式 $a^2 - b^2 = c$ を因数分解し、$(a+b)(a-b) = c$ の形にする。 $a, b$ が整数であることから、$a+b, a-b$ も整数となり、これらが $c$ の約数となることを利用する。このとき、$a \geqq b \geqq 0$ という不等式条件から $a+b$ と $a-b$ の大小関係および符号を絞り込む。また、$(a+b) + (a-b) = 2a$ となり、和が必ず偶数になることから、「$a+b$ と $a-b$ の偶奇は一致する」という重要な性質を利用して候補をさらに絞る。

解法1

条件 ($*$) の $a^2 - b^2 = c$ を因数分解すると、

$$ (a+b)(a-b) = c $$

となる。 $a \geqq b \geqq 0$ であるから、

$$ a+b \geqq a-b \quad \text{かつ} \quad a+b \geqq 0 $$

である。また、$(a+b) + (a-b) = 2a$ であり、$a$ は整数であるから $2a$ は偶数となる。したがって、$a+b$ と $a-b$ の偶奇は必ず一致する。

(1)

$c = 24$ のとき

$$ (a+b)(a-b) = 24 $$

$a+b$ と $a-b$ は偶奇が一致し、積が偶数であるため共に偶数である。大小関係 $a+b \geqq a-b$ と符号 $a+b \geqq 0$ を満たす組 $(a+b, a-b)$ は、

$$ (a+b, a-b) = (12, 2), (6, 4) $$

よって、和と差をとって2で割ることで、

$$ (a, b) = (7, 5), (5, 1) $$

$c = 25$ のとき

$$ (a+b)(a-b) = 25 $$

$a+b$ と $a-b$ は偶奇が一致し、積が奇数であるため共に奇数である。条件を満たす組 $(a+b, a-b)$ は、

$$ (a+b, a-b) = (25, 1), (5, 5) $$

よって、

$$ (a, b) = (13, 12), (5, 0) $$

$c = 26$ のとき

$$ (a+b)(a-b) = 26 $$

偶奇が一致するため共に偶数か共に奇数となる。仮に共に偶数とすると、その積 $(a+b)(a-b)$ は $4$ の倍数となるが、$26$ は $4$ の倍数ではないため不適。仮に共に奇数とすると、積は奇数となり $26$ にならないため不適。よって、条件を満たす整数の組 $(a, b)$ は存在しない。

(2)

$c = 4p^{2n}$ のとき

$$ (a+b)(a-b) = 4p^{2n} $$

$a+b$ と $a-b$ は偶奇が一致し、その積は偶数であるから、共に偶数となる。したがって、$A \geqq B \geqq 0$ を満たす整数 $A, B$ を用いて、

$$ a+b = 2A, \quad a-b = 2B $$

とおくことができる。これを代入すると、

$$ 4AB = 4p^{2n} $$

$$ AB = p^{2n} $$

$p$ は素数であるから、$p^{2n}$ の正の約数は $1, p, p^2, \dots, p^{2n}$ の $2n+1$ 個である。 $A \geqq B \geqq 0$ を満たす整数の組 $(A, B)$ は、$0 \leqq k \leqq n$ を満たす整数 $k$ を用いて、

$$ (A, B) = (p^{2n-k}, p^k) $$

と表される。 $a = A+B, b = A-B$ であるから、求める整数の組 $(a, b)$ は、

$$ (a, b) = (p^{2n-k} + p^k, p^{2n-k} - p^k) \quad (k = 0, 1, 2, \dots, n) $$

解説

整数問題における「因数分解して約数を調べる」という最も基本的なアプローチを問う問題である。平方の差 $a^2 - b^2$ を $(a+b)(a-b)$ に分解した際、「和 $a+b$ と差 $a-b$ の偶奇が一致する」という事実は、整数問題において非常に頻繁に用いられる重要な性質である。 (2) においては、共に偶数であることを利用してあらかじめ $2A, 2B$ とおくことで、素因数 $2$ の処理が簡潔になり、本質的な素数 $p$ の累乗の分配のみに集中することができる。