数学A n進法 問題 3 解説

方針・初手

各位の数字に、その位の重みを掛けて10進法に直す。逆に、10進法から5進法に直すときは、5で割った余りを下の位から並べる。

累乗の一の位は、10で割った余り、または5で割った余りを調べればよい。

解法1

(1)

$1234_{(5)}$ を10進法で表すと、

$$ 1234_{(5)}=1\cdot 5^3+2\cdot 5^2+3\cdot 5+4 $$

である。よって、

$$ 1234_{(5)}=125+50+15+4=194 $$

となる。

同様に、

$$ 2341_{(5)}=2\cdot 5^3+3\cdot 5^2+4\cdot 5+1 $$

であるから、

$$ 2341_{(5)}=250+75+20+1=346 $$

となる。

また、5進法のまま足すと、

$$ \begin{aligned} 1234_{(5)}+2341_{(5)} &=3580_{(10)} \end{aligned} $$

ではなく、実際には10進法で

$$ 194+346=540 $$

である。

これを5進法に直す。5で割った余りを順に求めると、

$$ \begin{aligned} 540&=5\cdot 108+0,\\ 108&=5\cdot 21+3,\\ 21&=5\cdot 4+1,\\ 4&=5\cdot 0+4 \end{aligned} $$

となる。下から余りを読むので、

$$ 540=4130_{(5)} $$

である。

したがって、

$$ 1234_{(5)}+2341_{(5)}=4130_{(5)} $$

である。

(2)

$123^{2018}$ の10進法での一の位は、$123$ の一の位である $3$ の累乗の一の位を調べればよい。

$3$ の累乗の一の位は、

$$ 3,\ 9,\ 7,\ 1 $$

を周期4で繰り返す。

ここで、

$$ 2018=4\cdot 504+2 $$

であるから、$2018$ 乗の一の位は周期の2番目である。

よって、10進法で表された $123^{2018}$ の一の位は

$$ 9 $$

である。

次に、$123^{2018}$ を5進法で表したときの一の位を求める。これは $123^{2018}$ を5で割った余りに等しい。

$$ 123\equiv 3 \pmod{5} $$

より、

$$ 123^{2018}\equiv 3^{2018}\pmod{5} $$

である。

$3$ の累乗を5で割った余りは、

$$ 3,\ 4,\ 2,\ 1 $$

を周期4で繰り返す。先ほどと同じく、

$$ 2018\equiv 2\pmod{4} $$

であるから、

$$ 3^{2018}\equiv 4\pmod{5} $$

である。

したがって、$123^{2018}$ を5進法で表したときの一の位の数字は

$$ 4 $$

である。

(3)

この自然数を $N$ とする。

7進法で $ab_{(7)}$ と表されるので、

$$ N=7a+b $$

である。

また、5進法で $ba_{(5)}$ と表されるので、

$$ N=5b+a $$

である。

したがって、

$$ 7a+b=5b+a $$

が成り立つ。整理すると、

$$ 6a=4b $$

すなわち、

$$ 3a=2b $$

である。

ここで、$ab_{(7)}$ は2桁の7進法の数なので、$a$ は0ではない。また、$ba_{(5)}$ は2桁の5進法の数なので、$b$ も0ではない。さらに、5進法の数字として使われるため、$a,b$ はともに $0,1,2,3,4$ の範囲に入る必要がある。

したがって、

$$ 1\leqq a\leqq 4,\qquad 1\leqq b\leqq 4 $$

である。

$3a=2b$ を満たすこの範囲の整数を調べると、

$$ a=2,\qquad b=3 $$

である。

よって、

$$ N=7a+b=7\cdot 2+3=17 $$

である。

実際、

$$ 17=23_{(7)}=32_{(5)} $$

となり、条件を満たす。

解説

位取り記数法では、$abcd_{(n)}$ は

$$ a n^3+b n^2+c n+d $$

を表す。したがって、まず10進法に直してから計算するのが基本である。

累乗の一の位は、すべてを計算する必要はない。10進法の一の位なら10で割った余り、5進法の一の位なら5で割った余りを周期性で調べればよい。

最後の問題では、同じ自然数を2通りに表しているので、$7a+b=5b+a$ という方程式を立てるのが中心である。ただし、$a,b$ がそれぞれの進法で使える数字であるという条件を忘れてはいけない。

答え

(1)

$$ \boxed{①=194,\quad ②=346,\quad ③=4130} $$

(2)

$$ \boxed{④=9,\quad ⑤=4} $$

(3)

$$ \boxed{⑥=17} $$