数学A n進法 問題 5 解説

方針・初手

小数を含む進法変換では、整数部と小数部に分けて考える。整数部は通常の割り算、小数部は $2$ 倍を繰り返す方法で $2$ 進法に直す。

積については、まず $6.75$ を $2$ 進法に直し、与えられた $101.0101_2$ と掛け合わせる。最後に、$2$ 進法から $4$ 進法へ直すときは、小数点を基準に $2$ 桁ずつ区切ればよい。

解法1

まず、$6.75$ を整数部 $6$ と小数部 $0.75$ に分ける。

整数部について、

$$ 6=4+2 $$

であるから、

$$ 6=110_2 $$

である。

次に、小数部 $0.75$ を $2$ 進法で表す。$0.75$ に $2$ を順に掛けると、

$$ \begin{aligned} 0.75 \times 2 &= 1.5,\\ 0.5 \times 2 &= 1.0 \end{aligned} $$

となる。したがって、小数部は

$$ 0.75=0.11_2 $$

である。

よって、

$$ 6.75=110.11_2 $$

である。

次に、積を求める。与えられた数は $101.0101_2$ であるから、求める積は

$$ 110.11_2 \times 101.0101_2 $$

である。

小数点をいったん無視して計算する。$110.11_2$ は小数部が $2$ 桁、$101.0101_2$ は小数部が $4$ 桁なので、積では小数部が $6$ 桁になる。

$$ 110.11_2=11011_2 \times 2^{-2} $$

$$ 101.0101_2=1010101_2 \times 2^{-4} $$

したがって、

$$ \begin{aligned} 110.11_2 \times 101.0101_2 &= (11011_2 \times 1010101_2)\times 2^{-6} \end{aligned} $$

ここで、

$$ 11011_2=27,\qquad 1010101_2=85 $$

なので、

$$ 27 \times 85=2295 $$

である。$2295$ を $2$ 進法に直すと、

$$ 2295=100011110111_2 $$

である。

小数部が $6$ 桁になるように小数点を入れると、

$$ 100011110111_2 \times 2^{-6}=100011.110111_2 $$

したがって、積を $2$ 進法で表すと、

$$ 100011.110111_2 $$

である。

次に、これを $4$ 進法に直す。$4=2^2$ であるから、$2$ 進法の数字を小数点を基準に $2$ 桁ずつ区切ればよい。

$$ \begin{aligned} 100011.110111_2 &= 10\ 00\ 11 . 11\ 01\ 11_2 \end{aligned} $$

それぞれを $4$ 進法の数字に直すと、

$$ 10_2=2,\quad 00_2=0,\quad 11_2=3 $$

また、

$$ 11_2=3,\quad 01_2=1,\quad 11_2=3 $$

である。

したがって、

$$ 100011.110111_2=203.313_4 $$

である。

解説

小数を含む進法変換では、整数部と小数部を分けることが重要である。特に $0.75$ は

$$ 0.75=\frac{3}{4} $$

なので、$2$ 進法では $0.11_2$ とすぐに分かる。

また、$2$ 進法から $4$ 進法への変換は、$4=2^2$ を利用して $2$ 桁ずつ区切るのが最も速い。小数点を基準にして、整数部は右から、小数部は左から $2$ 桁ずつ区切る点に注意する。

答え

$$ 6.75=110.11_2 $$

また、積は

$$ 110.11_2 \times 101.0101_2=100011.110111_2 $$

したがって、$4$ 進法では

$$ 100011.110111_2=203.313_4 $$