数学A 合同式 問題 4 解説

方針・初手

1の位だけを求めればよいので、各項を $10$ で割った余りで考える。累乗の1の位は周期をもつため、指数 $2017$ を各周期で割った余りに注目する。

解法1

各数の累乗の1の位を調べる。

$2$ の累乗の1の位は

$$ 2,\ 4,\ 8,\ 6,\ 2,\ 4,\ 8,\ 6,\ \cdots $$

となり、周期は $4$ である。したがって

$$ 2017 \equiv 1 \pmod{4} $$

より、$2^{2017}$ の1の位は $2$ である。

次に、$3$ の累乗の1の位は

$$ 3,\ 9,\ 7,\ 1,\ 3,\ 9,\ 7,\ 1,\ \cdots $$

となり、周期は $4$ である。よって

$$ 2017 \equiv 1 \pmod{4} $$

より、$3^{2017}$ の1の位は $3$ である。

また、$5$ の累乗の1の位は常に $5$ であるから、$5^{2017}$ の1の位は $5$ である。

最後に、$7$ の累乗の1の位は

$$ 7,\ 9,\ 3,\ 1,\ 7,\ 9,\ 3,\ 1,\ \cdots $$

となり、周期は $4$ である。よって

$$ 2017 \equiv 1 \pmod{4} $$

より、$7^{2017}$ の1の位は $7$ である。

したがって、求める和の1の位は

$$ 2+3+5+7=17 $$

の1の位であるから、$7$ である。

解説

累乗の1の位を求める問題では、数そのものを計算せず、$10$ で割った余りだけを見るのが基本である。

特に $2,3,7$ の累乗の1の位は周期 $4$ で繰り返す。指数 $2017$ は $4$ で割ると余り $1$ なので、それぞれの周期の1番目を見ればよい。

$5$ の累乗は常に1の位が $5$ であるため、周期を細かく考える必要はない。

答え

$$ \boxed{7} $$