数学A 合同式 問題 11 解説

方針・初手

$A(m,n)=B(f(m,n))$ は、$f(m,n)$ が $3$ で何回割れるかを表す量である。

まず $f(m,n)$ を $3$ で割った余りから、$A(m,n)\geqq 1$ となる場合を絞る。その後、$m,n$ を $3$ の倍数を含む形で置き直し、さらに高い $3$ の累乗で割れる条件を調べる。

解法1

$f(m,n)=m^3+n^2+n+3$ とおく。

まず $n$ は $3$ で割り切れないので、$n\equiv 1,2 \pmod 3$ のいずれかである。

(i)

$n\equiv 1\pmod 3$ のとき

このとき

$$ n^2+n+3\equiv 1+1+0\equiv 2\pmod 3 $$

であり、また $m^3\equiv m\pmod 3$ だから、

$$ f(m,n)\equiv m+2\pmod 3 $$

である。したがって $3\mid f(m,n)$ となるには $m\equiv 1\pmod 3$ が必要である。

そこで

$$ m=3u+1,\qquad n=3v+1 $$

とおくと、

$$ \begin{aligned} f(m,n) &=(3u+1)^3+(3v+1)^2+(3v+1)+3\\ &=27u^3+27u^2+9u+1+9v^2+9v+5\\ &=3(9u^3+9u^2+3u+3v^2+3v+2) \end{aligned} $$

となる。括弧内は $3$ で割った余りが $2$ であるから、$3$ では割り切れない。

よってこの場合は、$3\mid f(m,n)$ であっても

$$ B(f(m,n))=1 $$

にとどまる。

(ii)

$n\equiv 2\pmod 3$ のとき

このとき

$$ n^2+n+3\equiv 4+2+0\equiv 0\pmod 3 $$

であるから、

$$ f(m,n)\equiv m^3\equiv m\pmod 3 $$

である。したがって $3\mid f(m,n)$ となるには $m\equiv 0\pmod 3$ が必要である。

そこで

$$ m=3r,\qquad n=3s+2 $$

とおく。条件より

$$ 1\leqq r\leqq 10,\qquad 0\leqq s\leqq 9 $$

である。

このとき

$$ \begin{aligned} f(m,n) &=(3r)^3+(3s+2)^2+(3s+2)+3\\ &=27r^3+9s^2+15s+9\\ &=3(9r^3+3s^2+5s+3) \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ 9r^3+3s^2+5s+3\equiv 2s\pmod 3 $$

である。したがって、さらに $3$ で割れるためには

$$ s\equiv 0\pmod 3 $$

が必要である。

$s=3t$ とおくと、$0\leqq s\leqq 9$ より

$$ t=0,1,2,3 $$

である。このとき

$$ \begin{aligned} f(m,n) &=3(9r^3+27t^2+15t+3)\\ &=9(3r^3+9t^2+5t+1) \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ q=3r^3+9t^2+5t+1 $$

とおくと、

$$ A(m,n)=2+B(q) $$

である。

次に $q$ が $9$ で割り切れる条件を調べる。$9t^2\equiv 0\pmod 9$ なので、

$$ q\equiv 3r^3+5t+1\pmod 9 $$

である。

$r$ を $3$ で割った余りで分けると、

$$ \begin{aligned} r\equiv 0\pmod 3&:\quad q\equiv 5t+1\equiv 1,6,2,7\pmod 9,\\ r\equiv 1\pmod 3&:\quad q\equiv 5t+4\equiv 4,0,5,1\pmod 9,\\ r\equiv 2\pmod 3&:\quad q\equiv 5t+7\equiv 7,3,8,4\pmod 9. \end{aligned} $$

ただし、各行の $4$ つの余りは $t=0,1,2,3$ に対応している。

したがって、$9\mid q$ となるのは

$$ r\equiv 1\pmod 3,\qquad t=1 $$

のときに限られる。

このとき $r=3u+1$ とおけるので、

$$ \begin{aligned} q &=3(3u+1)^3+9+5+1\\ &=81u^3+81u^2+27u+18\\ &=9(9u^3+9u^2+3u+2) \end{aligned} $$

となる。括弧内は $3$ で割った余りが $2$ であるから、$q$ は $9$ では割り切れるが $27$ では割り切れない。

よってこの場合

$$ B(q)=2 $$

であり、

$$ A(m,n)=2+B(q)=4 $$

となる。

条件 $1\leqq r\leqq 10$ のもとで $r\equiv 1\pmod 3$ を満たすものは

$$ r=1,4,7,10 $$

である。また $t=1$ だから

$$ s=3t=3 $$

であり、

$$ n=3s+2=11 $$

である。

さらに $m=3r$ より、

$$ m=3,12,21,30 $$

となる。

以上より、最大値を与える組は

$$ (m,n)=(3,11),(12,11),(21,11),(30,11) $$

である。

解説

この問題では、$f(m,n)$ を直接計算して調べるのではなく、$3$ 進的な割り切れ方を段階的に追うことが重要である。

最初に $n\pmod 3$ で場合分けすると、$n\equiv 1\pmod 3$ の場合は高い冪まで割れないことが分かる。したがって、最大値を狙うべき本命は $n\equiv 2\pmod 3,\ m\equiv 0\pmod 3$ の場合である。

そこから $m=3r,\ n=3s+2$ と置き換えることで、$3$ の因子を外に出しながら、残った部分がさらに $3$ で割れる条件を順に調べられる。最終的に $q=3r^3+9t^2+5t+1$ の $9$ での割り切れ条件まで絞れば、最大値とその達成条件が同時に決まる。

答え

$$ \boxed{A(m,n)\text{ の最大値は }4} $$

最大値を与える $(m,n)$ は

$$ \boxed{(m,n)=(3,11),(12,11),(21,11),(30,11)} $$