数学A ユークリッドの互除法 問題 2 解説

方針・初手

$P(x)=x^3-6x^2+11x-6$ は因数分解できる形である。まず $P(x)$ の根を確認し、$P(x)$ を一次因子の積に直す。

その後、$Q(x)$ の各割り算の余りから、$Q(1),Q(2),Q(3)$ の値を読み取る。$P(x)$ で割った余りは高々2次式なので、3点の値から余りを決定する。

解法1

まず

$$ P(x)=x^3-6x^2+11x-6 $$

を因数分解すると、

$$ P(x)=(x-1)(x-2)(x-3) $$

である。したがって、方程式 $P(x)=0$ の3つの解は $1,2,3$ であり、その和は

$$ 1+2+3=6 $$

である。

よって、アは

$$ 6 $$

である。

次に、$Q(x)$ を $x^2-3x+2$ で割ると余りが $8x+2$ である。

ここで

$$ x^2-3x+2=(x-1)(x-2) $$

だから、$x=1,2$ のとき $Q(x)$ の値は余り $8x+2$ と一致する。よって

$$ Q(1)=8\cdot 1+2=10 $$

$$ Q(2)=8\cdot 2+2=18 $$

である。

また、$Q(x)$ を $x^2-5x+6$ で割ると余りが $10x+k$ である。

$$ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) $$

なので、$x=2,3$ のとき $Q(x)$ の値は余り $10x+k$ と一致する。特に $x=2$ で比較すると、

$$ Q(2)=10\cdot 2+k=20+k $$

である。一方で、先ほど $Q(2)=18$ と分かっているから、

$$ 20+k=18 $$

より

$$ k=-2 $$

である。

したがって、イは

$$ -2 $$

である。

このとき、$Q(x)$ を $P(x)$ で割った余りを $R(x)$ とする。$P(x)$ は3次式なので、$R(x)$ は高々2次式である。

$$ Q(x)=P(x)S(x)+R(x) $$

とおける。$P(1)=P(2)=P(3)=0$ だから、

$$ R(1)=Q(1),\quad R(2)=Q(2),\quad R(3)=Q(3) $$

である。

すでに

$$ Q(1)=10,\quad Q(2)=18 $$

である。また $k=-2$ より、$x=3$ では

$$ Q(3)=10\cdot 3-2=28 $$

である。

よって、$R(x)$ は

$$ R(1)=10,\quad R(2)=18,\quad R(3)=28 $$

を満たす高々2次式である。$R(x)=ax^2+bx+c$ とおくと、

$$ \begin{cases} a+b+c=10\\ 4a+2b+c=18\\ 9a+3b+c=28 \end{cases} $$

である。上から順に引くと、

$$ 3a+b=8 $$

$$ 5a+b=10 $$

となる。これらを引いて

$$ 2a=2 $$

より

$$ a=1 $$

である。したがって

$$ 3+b=8 $$

より

$$ b=5 $$

さらに

$$ 1+5+c=10 $$

より

$$ c=4 $$

である。

よって

$$ R(x)=x^2+5x+4 $$

である。

したがって、ウは

$$ x^2+5x+4 $$

である。

最後に、$P(10)$ と $Q(10)$ の最大公約数を求める。

まず

$$ P(10)=10^3-6\cdot 10^2+11\cdot 10-6 $$

より

$$ P(10)=1000-600+110-6=504 $$

である。

また、$Q(x)$ を $P(x)$ で割った余りが $R(x)=x^2+5x+4$ なので、

$$ Q(10)=P(10)S(10)+R(10) $$

である。したがって

$$ \gcd(P(10),Q(10))=\gcd(P(10),R(10)) $$

である。

ここで

$$ R(10)=10^2+5\cdot 10+4=154 $$

だから、

$$ \gcd(P(10),Q(10))=\gcd(504,154) $$

である。ユークリッドの互除法より、

$$ 504=154\cdot 3+42 $$

$$ 154=42\cdot 3+28 $$

$$ 42=28\cdot 1+14 $$

$$ 28=14\cdot 2 $$

したがって最大公約数は

$$ 14 $$

である。

よって、エは

$$ 14 $$

である。

解説

この問題の中心は、割り算の余りから特定の点での $Q(x)$ の値を読み取ることである。

$Q(x)$ を $(x-a)$ を因子にもつ式で割ったとき、その余りは $x=a$ で $Q(a)$ と同じ値をとる。今回は

$$ x^2-3x+2=(x-1)(x-2) $$

$$ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) $$

であり、共通する $x=2$ の値を比較することで $k$ が決まる。

また、$P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$ であるため、$Q(x)$ を $P(x)$ で割った余りは、$x=1,2,3$ における値から一意に決まる。ここを「余りは高々2次式」と見抜けるかが重要である。

最大公約数の計算では、$Q(10)$ を直接求める必要はない。$Q(10)$ と余り $R(10)$ は $P(10)$ の倍数だけ異なるので、

$$ \gcd(P(10),Q(10))=\gcd(P(10),R(10)) $$

として計算できる。

答え

ア：

$$ 6 $$

イ：

$$ -2 $$

ウ：

$$ x^2+5x+4 $$

エ：

$$ 14 $$