数学A フェルマーの小定理 問題 1 解説

方針・初手

$n^7-n$ が $7$ の倍数であることを、$n=2$ から始める数学的帰納法で示す。

帰納法では、ある自然数 $k \geqq 2$ について $k^7-k$ が $7$ の倍数であると仮定し、次に $(k+1)^7-(k+1)$ も $7$ の倍数であることを示せばよい。

解法1

まず $n=2$ のとき、

$$ 2^7-2=128-2=126=7\cdot 18 $$

であるから、$2^7-2$ は $7$ の倍数である。

次に、ある自然数 $k \geqq 2$ について、

$$ k^7-k $$

が $7$ の倍数であると仮定する。すなわち、ある整数 $m$ を用いて

$$ k^7-k=7m $$

と表せるとする。

このとき、$n=k+1$ の場合を考える。

$$ \begin{aligned} (k+1)^7-(k+1) &=k^7+7k^6+21k^5+35k^4+35k^3+21k^2+7k+1-k-1 \\ &=k^7-k+7k^6+21k^5+35k^4+35k^3+21k^2+7k \\ &=(k^7-k)+7(k^6+3k^5+5k^4+5k^3+3k^2+k) \end{aligned} $$

ここで、帰納法の仮定より $k^7-k$ は $7$ の倍数である。また、

$$ 7(k^6+3k^5+5k^4+5k^3+3k^2+k) $$

も $7$ の倍数である。

したがって、

$$ (k+1)^7-(k+1) $$

は $7$ の倍数である。

以上より、$n=2$ で成り立ち、$n=k$ で成り立つならば $n=k+1$ でも成り立つことが示された。

よって数学的帰納法により、$2$ 以上のすべての自然数 $n$ について、$n^7-n$ は $7$ の倍数である。

解説

この問題では、$(k+1)^7-(k+1)$ を二項定理で展開し、帰納法の仮定で使える形である $k^7-k$ を取り出すことが重要である。

展開後に

$$ (k+1)^7-(k+1)=(k^7-k)+7\times \text{整数} $$

という形を作れば、右辺の第1項は帰納法の仮定により $7$ の倍数であり、第2項も明らかに $7$ の倍数である。したがって和も $7$ の倍数になる。

答え

数学的帰納法により、$2$ 以上のすべての自然数 $n$ について、$n^7-n$ は $7$ の倍数であることが示された。