数学A フェルマーの小定理 問題 7 解説

方針・初手

一の位だけを考える問題なので、数そのものではなく $10$ で割った余りを見ればよい。

$n$ の一の位を $a$ とおくと、$n \equiv a \pmod{10}$ である。したがって $n^5$ の一の位は $a^5$ の一の位と一致する。あとは

$$ a^5 \equiv a \pmod{10} $$

を $a=0,1,\dots,9$ について示せばよい。

解法1

まず、(1) を求める。

$$ 3^6=729 $$

であるから、

$$ f(3^6)=9,\qquad f(3)=3 $$

である。よって

$$ f(3^6)-f(3)=9-3=6 $$

となる。

次に、(2) を示す。

任意の自然数 $n$ に対して、$n$ の一の位を $a$ とおく。すなわち

$$ a=f(n) $$

とする。このとき $a$ は $0,1,2,\dots,9$ のいずれかであり、

$$ n \equiv a \pmod{10} $$

である。よって両辺を $5$ 乗して、

$$ n^5 \equiv a^5 \pmod{10} $$

となる。

したがって、$f(n^5)=f(n)$ を示すには、$a^5$ の一の位が $a$ と一致することを示せばよい。

ここで $a=0,1,2,\dots,9$ について $a^5$ の一の位を調べると、

$$ \begin{array}{c|cccccccccc} a & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline a^5\text{ の一の位} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{array} $$

となる。

実際に計算すると、

$$ 0^5=0,\quad 1^5=1,\quad 2^5=32,\quad 3^5=243,\quad 4^5=1024, $$

$$ 5^5=3125,\quad 6^5=7776,\quad 7^5=16807,\quad 8^5=32768,\quad 9^5=59049 $$

であり、いずれも一の位はもとの数 $a$ に一致している。

したがって

$$ a^5 \equiv a \pmod{10} $$

であるから、

$$ n^5 \equiv n \pmod{10} $$

となる。

よって $n^5$ と $n$ の一の位は等しいので、

$$ f(n^5)=f(n) $$

である。したがって

$$ f(n^5)-f(n)=0 $$

が任意の自然数 $n$ に対して成り立つ。

解説

この問題では、数全体を計算する必要はなく、一の位だけを追えばよい。

一の位は $10$ で割った余りによって決まるので、合同式を使うと自然に整理できる。ただし、この問題では一の位が $0$ から $9$ までの $10$ 通りしかないため、表で確認しても十分である。

特に (2) は「どんな自然数 $n$ でも」とあるが、実際に見るべきものは $n$ の一の位だけである。したがって、$n$ の全体ではなく $f(n)$ に注目するのが重要である。

答え

(1)

$$ 6 $$

(2)

任意の自然数 $n$ について、$n^5$ と $n$ の一の位は等しい。したがって

$$ f(n^5)-f(n)=0 $$

が成り立つ。