数学A 整数問題 問題 1 解説

方針・初手

$3$ と $5$ は互いに素であるため、十分大きい整数は $3m+5n$ の形で表せる。ここでは $m,n$ が自然数なので、まず小さい数を調べ、ある程度以上の数がすべて表せることを示す。

解法1

$m,n$ は自然数なので、$m \geqq 1,\ n \geqq 1$ である。

したがって、集合の最小の要素は

$$ 3\cdot 1+5\cdot 1=8 $$

である。

まず、$16,17,18$ はそれぞれ

$$ 16=3\cdot 2+5\cdot 2 $$

$$ 17=3\cdot 4+5\cdot 1 $$

$$ 18=3\cdot 1+5\cdot 3 $$

と表せる。

ここで、ある自然数 $k$ が $3m+5n$ の形で表せるなら、$k+3$ も

$$ k+3=3(m+1)+5n $$

と表せる。

よって、$16,17,18$ が表せることから、$19,20,21$ も表せ、さらにその後の自然数もすべて表せる。したがって、$16$ 以上の自然数はすべて集合の要素である。

あとは $15$ 以下を調べればよい。$8$ 以上 $15$ 以下で表せるものは

$$ 8=3\cdot 1+5\cdot 1 $$

$$ 11=3\cdot 2+5\cdot 1 $$

$$ 13=3\cdot 1+5\cdot 2 $$

$$ 14=3\cdot 3+5\cdot 1 $$

である。

一方、$15$ が表せると仮定すると

$$ 3m+5n=15 $$

であり、$n \geqq 1$ だから $n=1,2$ のみを調べればよい。

(i)

$n=1$ のとき

$$ 3m+5=15 $$

より

$$ 3m=10 $$

となり、$m$ は自然数でない。

(ii)

$n=2$ のとき

$$ 3m+10=15 $$

より

$$ 3m=5 $$

となり、$m$ は自然数でない。

よって $15$ は集合の要素でない。

以上より、集合の要素でない自然数のうち最大のものは $15$ である。

解説

この問題では、$m,n$ が自然数であるため、$m,n$ を $0$ にできない点に注意する。もし $m,n$ を $0$ 以上の整数として考えると最大値は $7$ になるが、この問題では最小形が $3\cdot 1+5\cdot 1=8$ から始まる。

$16,17,18$ の連続する $3$ 個が表せることを確認すれば、以後は $3$ を足すことで $m$ を $1$ 増やせるため、すべて表せる。この考え方がこの問題の中心である。

答え

$$ 15 $$