数学A 整数問題 問題 4 解説

方針・初手

漸化式

$$ x_{n+1}=x_n^3+1 $$

を、偶奇と $9$ を法とする剰余で調べる。特に $x^3$ の $9$ による剰余は限られているため、$x_1,x_2,x_3$ のどれかが $9$ の倍数になることを示せばよい。

解法1

まず （1） を示す。

任意の整数 $a$ について、$a$ が偶数ならば $a(a^3+1)$ は偶数である。

一方、$a$ が奇数ならば $a^3$ も奇数であるから、$a^3+1$ は偶数である。したがって、この場合も $a(a^3+1)$ は偶数である。

よって任意の整数 $a$ に対して

$$ a(a^3+1) $$

は $2$ で割り切れる。

ここで $a=x_n$ とおくと、$x_{n+1}=x_n^3+1$ より

$$ x_nx_{n+1}=x_n(x_n^3+1) $$

である。したがって、$n=0,1,2$ に対して $x_nx_{n+1}$ は $2$ で割り切れる。

次に （2） を示す。

整数を $9$ で割った余りは $0,1,2,3,4,5,6,7,8$ のいずれかである。それぞれの立方を $9$ で考えると、

$$ \begin{aligned} 0^3&\equiv 0,\\ 1^3&\equiv 1,\\ 2^3&\equiv 8,\\ 3^3&\equiv 0,\\ 4^3&\equiv 1,\\ 5^3&\equiv 8,\\ 6^3&\equiv 0,\\ 7^3&\equiv 1,\\ 8^3&\equiv 8 \end{aligned} \pmod 9 $$

である。したがって、任意の整数 $a$ に対して

$$ a^3\equiv 0,1,8 \pmod 9 $$

のいずれかである。

$x_1=x_0^3+1$ だから、

$$ x_1\equiv 1,2,0 \pmod 9 $$

のいずれかである。よって、$x_1$ を $9$ で割った余りは $0,1,2$ のいずれかである。

最後に （3） を示す。

まず、（1） で $n=1$ とすると、$x_1x_2$ は $2$ で割り切れる。したがって、

$$ x_1x_2x_3 $$

は $2$ で割り切れる。

次に、$9$ で割り切れることを示す。（2） より、$x_1$ の $9$ による余りは $0,1,2$ のいずれかである。

(i)

$x_1\equiv 0\pmod 9$ のとき

このとき $x_1$ が $9$ で割り切れるので、

$$ x_1x_2x_3 $$

は $9$ で割り切れる。

(ii)

$x_1\equiv 1\pmod 9$ のとき

漸化式より

$$ x_2=x_1^3+1 $$

であるから、

$$ x_2\equiv 1^3+1=2\pmod 9 $$

となる。さらに

$$ x_3=x_2^3+1 $$

より、

$$ x_3\equiv 2^3+1=9\equiv 0\pmod 9 $$

である。したがって $x_3$ が $9$ で割り切れるので、$x_1x_2x_3$ は $9$ で割り切れる。

(iii)

$x_1\equiv 2\pmod 9$ のとき

漸化式より

$$ x_2=x_1^3+1 $$

であるから、

$$ x_2\equiv 2^3+1=9\equiv 0\pmod 9 $$

である。したがって $x_2$ が $9$ で割り切れるので、$x_1x_2x_3$ は $9$ で割り切れる。

以上より、どの場合でも $x_1x_2x_3$ は $9$ で割り切れる。

また、すでに $x_1x_2x_3$ は $2$ で割り切れることを示した。$2$ と $9$ は互いに素であるから、$x_1x_2x_3$ は

$$ 2\cdot 9=18 $$

で割り切れる。

解説

この問題では、漸化式そのものを解く必要はない。各項の具体的な値ではなく、偶奇と $9$ を法とする剰余だけを追えば十分である。

特に重要なのは、任意の整数 $a$ について $a^3$ の $9$ による余りが $0,1,8$ に限られることである。そのため、$a^3+1$ の余りは $1,2,0$ に限られ、これを繰り返すことで $x_1,x_2,x_3$ のいずれかが必ず $9$ の倍数になる。

また、$18$ で割り切れることを示すには、$2$ で割り切れることと $9$ で割り切れることを別々に示せばよい。これは $2$ と $9$ が互いに素であるためである。

答え

(1)

$0\leqq n\leqq 2$ に対して、$x_nx_{n+1}$ は $2$ で割り切れる。

(2)

$x_1$ を $9$ で割った余りは $0,1,2$ のいずれかである。

(3)

$x_1x_2x_3$ は $18$ で割り切れる。