数学A 整数問題 問題 98 解説

方針・初手

$p^4+14$ が素数でないことを示すには、$p^4+14$ が $1$ と自分自身以外の正の約数をもつことを示せばよい。

$p=3$ の場合だけ別に確認し、$p\neq 3$ の場合は $3$ で割り切れることを示す。

解法1

$p=3$ のとき、

$$ p^4+14=3^4+14=81+14=95=5\cdot 19 $$

であるから、素数ではない。

次に $p\neq 3$ の場合を考える。$p$ は素数であり、$3$ ではないから、$p$ は $3$ で割り切れない。したがって、

$$ p\equiv 1,\ 2 \pmod{3} $$

である。

よって、どちらの場合も

$$ p^2\equiv 1 \pmod{3} $$

となる。したがって、

$$ p^4\equiv 1 \pmod{3} $$

である。

また、

$$ 14\equiv 2 \pmod{3} $$

だから、

$$ p^4+14\equiv 1+2\equiv 0 \pmod{3} $$

となる。

つまり、$p\neq 3$ のとき $p^4+14$ は $3$ で割り切れる。

さらに、

$$ p^4+14>3 $$

であるから、$p^4+14$ は $3$ 以外の倍数であり、素数ではない。

以上より、すべての素数 $p$ に対して $p^4+14$ は素数でない。

解説

ポイントは、素数 $p$ を $3$ で割った余りに注目することである。

$p=3$ だけは合同式で $p^2\equiv 1\pmod{3}$ とできないので、先に直接確認する必要がある。$p\neq 3$ の素数なら $p$ は $3$ で割り切れないため、$p\equiv \pm1\pmod{3}$ となり、$p^4\equiv 1\pmod{3}$ が得られる。

その結果、$p^4+14$ は必ず $3$ の倍数になる。最後に $p^4+14>3$ を確認することで、「$3$ そのもの」ではなく「$3$ を約数にもつ合成数」であることが確定する。

答え

すべての素数 $p$ について、$p^4+14$ は素数ではない。