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数列の公式・定理・考え方

数学Bの数列で使う公式・定理・考え方を、大学入試数学で実際に使う場面に絞って整理します。数列は、公式に代入する問題だけでなく、規則を見抜く問題、漸化式を解く問題、数学的帰納法で証明する問題として出題されます。

入試問題解析では、1961年度〜2025年度の数学Bの数列767問を分類しています。関連して出やすい分類は、テーマ/漸化式421問、数学A/確率207問、数学3/極限181問、テーマ/確率漸化式143問、テーマ/数学的帰納法118問、テーマ/場合分け116問です。

等差数列・等比数列

基本形は、初項、公差または公比を正しく読むことです。

種類	一般項	和
等差数列	$a_n=a_1+(n-1)d$	$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=\frac{n}{2}\{2a_1+(n-1)d\}$
等比数列	$a_n=a_1r^{n-1}$	$r\ne1$ のとき $S_n=\frac{a_1(r^n-1)}{r-1}$、$r=1$ のとき $S_n=na_1$

等比数列の和では、$r=1$ の場合を別に扱います。公比が文字のときにこの場合分けを落とすと失点します。

頻出の和は、次の3つです。

$$\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}$$

$$\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

$$\sum_{k=1}^n k^3=\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2$$

和の公式を使う前に、添字が $1$ から始まっているか、$0$ から始まっているか、途中から始まっているかを確認します。必要なら、範囲をずらしてから公式に当てはめます。

階差数列 $b_n=a_{n+1}-a_n$ が分かるとき、

$$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_k$$

です。この公式は $n \ge 2$ で使います。最後に $n=1$ でも同じ式が成り立つか、または別に確認する必要があります。

階差数列は、一般項が直接見えないときの入口です。隣り合う項の差を取ることで、等差数列や等比数列の形が出るかを見ます。

漸化式では、型を見分けて処理を選びます。

型	見ること
$a_{n+1}=a_n+f(n)$	両辺を足し合わせて和に直します。
$a_{n+1}=pa_n$	等比数列として扱います。
$a_{n+1}=pa_n+q$	固定点 $\alpha=\frac{q}{1-p}$ を使い、$a_{n+1}-\alpha=p(a_n-\alpha)$ と直します。
確率や場合の数と結びつく型	状態を定義して、次の1手でどう移るかを書きます。

$a_{n+1}=pa_n+q$ では、$p=1$ の場合は別扱いです。固定点の式を機械的に使うと、分母が $0$ になります。

数学的帰納法は、数列の公式や不等式を証明するときに使います。基本は次の3段階です。

帰納法では、仮定をどこで使ったかが答案に現れている必要があります。$n=k+1$ の式を変形しているだけで、帰納法の仮定を使っていない答案は不十分です。

群数列では、次の順番で整理します。

群数列で多い失点は、全体での項番号と群の中での番号を混同することです。項番号を一度、群番号と群内番号に変換してから計算してください。

数列は、公式の多さよりも、添字と範囲の管理で差が出る分野です。

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