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北海道大学 2025年理系第1問解説

方針・初手

数列 $\{a_n\}$ の一般項を書き下し、対数の性質を用いて $b_n$ を表す。(2)ではすべての自然数 $n$ で成り立つ恒等式としての条件を考える。(3)では具体的な積を $\alpha$ の累乗で表し、桁数の条件を常用対数または底10の指数不等式に帰着させて共通範囲を求める。

解法1

(1) 数列 $\{a_n\}$ は初項 $\alpha$、公比 $r$ の等比数列であるから、その一般項は、

$$ a_n = \alpha r^{n-1} $$

$\alpha > 1, r > 1$ より $a_n > 1$ となるため、対数の底および真数の条件は満たされている。与えられた $b_n$ の式に代入して底を $\alpha$ とする底の変換公式を用いると、

$$ b_n = \log_{a_n} (a_{n+1}) = \frac{\log_\alpha a_{n+1}}{\log_\alpha a_n} $$

ここで、分母と分子はそれぞれ、

$$ \log_\alpha a_n = \log_\alpha (\alpha r^{n-1}) = \log_\alpha \alpha + \log_\alpha r^{n-1} = 1 + (n-1)\log_\alpha r $$

$$ \log_\alpha a_{n+1} = \log_\alpha (\alpha r^n) = 1 + n \log_\alpha r $$

したがって、これらを代入して、

$$ b_n = \frac{1 + n \log_\alpha r}{1 + (n-1)\log_\alpha r} $$

(2) (1)の結果を用いると、与えられた等式は次のように書ける。

$$ \frac{1 + n \log_\alpha r}{1 + (n-1)\log_\alpha r} = \frac{n+2}{n+1} $$

分母を払って整理する。

$$ (1 + n \log_\alpha r)(n+1) = (n+2)\{1 + (n-1)\log_\alpha r\} $$

$$ n + 1 + n(n+1) \log_\alpha r = n + 2 + (n+2)(n-1)\log_\alpha r $$

$$ 1 + n(n+1) \log_\alpha r = 2 + (n^2+n-2)\log_\alpha r $$

$$ \{n(n+1) - (n^2+n-2)\} \log_\alpha r = 1 $$

$$ 2 \log_\alpha r = 1 $$

$$ \log_\alpha r = \frac{1}{2} $$

この等式は $n$ を含まず、すべての自然数 $n$ について成り立つ。対数の定義から、必要十分条件は $r = \alpha^{\frac{1}{2}}$ であり、両辺を2乗して整理すると、

$$ \alpha = r^2 $$

(3) (2)の条件 $\log_\alpha r = \frac{1}{2}$、すなわち $r = \alpha^{\frac{1}{2}}$ が成り立つとき、

$$ a_n = \alpha (\alpha^{\frac{1}{2}})^{n-1} = \alpha^{\frac{n+1}{2}} $$

となる。条件にあるそれぞれの積を計算する。

$$ a_1 a_2 = \alpha^1 \cdot \alpha^{\frac{3}{2}} = \alpha^{\frac{5}{2}} $$

$$ a_1 a_2 a_3 = \alpha^{\frac{5}{2}} \cdot \alpha^2 = \alpha^{\frac{9}{2}} $$

$$ a_1 a_2 a_3 a_4 = \alpha^{\frac{9}{2}} \cdot \alpha^{\frac{5}{2}} = \alpha^7 $$

正の実数 $X$ の整数部分が $m$ 桁であるための条件は、$10^{m-1} \leqq X < 10^m$ が成り立つことである。したがって、それぞれの積の桁数の条件は次のような不等式で表される。

$$ 10^1 \leqq \alpha^{\frac{5}{2}} < 10^2 $$

$$ 10^2 \leqq \alpha^{\frac{9}{2}} < 10^3 $$

$$ 10^3 \leqq \alpha^7 < 10^4 $$

各辺について、底を10とする常用対数をとる。底の10は1より大きいので大小関係は変わらない。

$$ 1 \leqq \frac{5}{2} \log_{10} \alpha < 2 \iff \frac{2}{5} \leqq \log_{10} \alpha < \frac{4}{5} $$

$$ 2 \leqq \frac{9}{2} \log_{10} \alpha < 3 \iff \frac{4}{9} \leqq \log_{10} \alpha < \frac{2}{3} $$

$$ 3 \leqq 7 \log_{10} \alpha < 4 \iff \frac{3}{7} \leqq \log_{10} \alpha < \frac{4}{7} $$

これらを同時に満たす $\log_{10} \alpha$ の範囲を求める。下限と上限の大きさをそれぞれ比較する。下限について、分母を揃えると $\frac{2}{5} = \frac{126}{315}$、$\frac{4}{9} = \frac{140}{315}$、$\frac{3}{7} = \frac{135}{315}$ より、最大の下限は $\frac{4}{9}$ である。上限について、分母を揃えると $\frac{4}{5} = \frac{252}{315}$、$\frac{2}{3} = \frac{210}{315}$、$\frac{4}{7} = \frac{180}{315}$ より、最小の上限は $\frac{4}{7}$ である。

$\frac{4}{9} < \frac{4}{7}$ であるから、求める $\log_{10} \alpha$ の共通範囲は、

$$ \frac{4}{9} \leqq \log_{10} \alpha < \frac{4}{7} $$

これを $\alpha$ の範囲に直すと、

$$ 10^{\frac{4}{9}} \leqq \alpha < 10^{\frac{4}{7}} $$

となる。これは $\alpha > 1$ （すなわち $\log_{10} \alpha > 0$）という条件も満たしている。

解説

対数計算、恒等式の処理、および桁数と常用対数の基本事項を問う総合問題である。(1)は底を揃えるのが定石となる。(2)で $n$ の恒等式に帰着させる部分は、分母を払って $n$ について整理する基本的な流れである。(3)の「整数部分が $m$ 桁」という条件は $10^{m-1} \leqq X < 10^m$ という不等式に直すことがポイントとなる。最後に複数の不等式の共通部分を求める際、有理数の大小関係の比較を丁寧に行う必要がある。