東北大学 2025年 理系 第2問 解説

方針・初手

$x_{n+1},y_{n+1}$ は積とべきで定義されているので、対数をとると一次の漸化式に直せる。そこで

$$ a_n=\log_2 x_n,\qquad b_n=\log_2 y_n $$

とおく。

すると $(a_n,b_n)$ は行列で扱える一次変換に従う。 特に、$a_n+kb_n$ が等比数列になる条件は、$(1,k)$ がその一次変換の左固有ベクトルになる条件に言い換えられる。

解法1

まず、対数の性質より

$$ a_{n+1}=\log_2 x_{n+1}=\log_2!\bigl(x_n^5y_n^2\bigr)=5a_n+2b_n $$

$$ b_{n+1}=\log_2 y_{n+1}=\log_2!\bigl(x_ny_n^6\bigr)=a_n+6b_n $$

である。

また初項は

$$ a_1=\log_2 2=1,\qquad b_1=\log_2 \frac12=-1 $$

である。

(1)

$a_n+kb_n$ が等比数列となる $k$

$c_n=a_n+kb_n$ とおく。これが等比数列であるとは、ある定数 $r$ が存在して

$$ c_{n+1}=r c_n $$

がすべての $n$ で成り立つことである。

実際に $c_{n+1}$ を計算すると

$$ \begin{aligned} c_{n+1} &=a_{n+1}+kb_{n+1} \\ &=(5a_n+2b_n)+k(a_n+6b_n) \\ &=(5+k)a_n+(2+6k)b_n \end{aligned} $$

となる。

これが $r(a_n+kb_n)=ra_n+rkb_n$ に一致するためには

$$ 5+k=r,\qquad 2+6k=rk $$

が必要十分である。

$r=5+k$ を代入すると

$$ 2+6k=k(5+k) $$

$$ k^2-k-2=0 $$

$$ (k-2)(k+1)=0 $$

よって

$$ k=2,\quad -1 $$

である。

（2） 数列 $\{x_n\}$ の一般項

（1） で得た $k=2,-1$ を用いると、

$$ u_n=a_n+2b_n,\qquad v_n=a_n-b_n $$

はともに等比数列である。

まず $u_n$ については、比が

$$ r=5+2=7 $$

であり、

$$ u_1=a_1+2b_1=1+2(-1)=-1 $$

だから

$$ u_n=-7^{n-1} $$

である。

次に $v_n$ については、比が

$$ r=5+(-1)=4 $$

であり、

$$ v_1=a_1-b_1=1-(-1)=2 $$

だから

$$ v_n=2\cdot 4^{n-1} $$

である。

ここで

$$ u_n=a_n+2b_n,\qquad v_n=a_n-b_n $$

を連立して $a_n$ を求める。

$u_n-v_n=3b_n$ より

$$ b_n=\frac{u_n-v_n}{3} $$

したがって

$$ a_n=v_n+b_n=\frac{u_n+2v_n}{3} $$

となるので、

$$ a_n=\frac{-7^{n-1}+2\cdot\bigl(2\cdot 4^{n-1}\bigr)}{3} =\frac{-7^{n-1}+4^n}{3} $$

である。

$a_n=\log_2 x_n$ であったから、

$$ x_n=2^{a_n}=2^{\frac{4^n-7^{n-1}}{3}} $$

を得る。

解説

この問題の本質は、積や累乗で定義された漸化式を対数で一次化することである。

その後は

$$ \begin{pmatrix} a_{n+1}\\ b_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5&2\\ 1&6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_n\\ b_n \end{pmatrix} $$

という行列の問題になる。 $a_n+kb_n$ が等比数列になる条件は、$(1,k)$ が左固有ベクトルになることに対応している。

さらに、固有ベクトルに対応する2つの一次結合 $a_n+2b_n,\ a_n-b_n$ を作ると、それぞれ独立な等比数列になるため、最後に連立して $a_n$ を復元できる。一次変換の対角化と同じ発想である。

答え

$$ \text{(1)}\quad k=2,\ -1 $$

$$ \text{(2)}\quad x_n=2^{\frac{4^n-7^{n-1}}{3}} $$