一橋大学 2006年 文系 第4問 問題

$a,b$ を正の定数とする。関数 $y=x^3-ax$ のグラフと，点 $(0,2b^3)$ を通る直線はちょうど $2$ 点 $P,Q$ を共有している。ただし，$P$ の $x$ 座標は負，$Q$ の $x$ 座標は正である。

(1) 直線 $PQ$ の方程式を $a$ と $b$ で表せ。

(2) $P$ および $Q$ の座標を $a$ と $b$ で表せ。

(3) $\angle POQ=90^\circ$ となる $b$ が存在するような $a$ の値の範囲を求めよ。ただし，$O$ は原点である。