一橋大学 2011年 文系 第3問 問題

$xy$ 平面上に放物線 $C:y=-3x^2+3$ と $2$ 点 $A(1,0),\ P(0,3p)$ がある。

線分 $AP$ と $C$ は，$A$ とは異なる点 $Q$ を共有している。

(1) 定数 $p$ の存在する範囲を求めよ。

(2) $S_1$ を，$C$ と線分 $AQ$ で囲まれた領域とし，$S_2$ を，$C$，線分 $QP$，および $y$ 軸とで囲まれた領域とする。$S_1$ と $S_2$ の面積の和が最小となる $p$ の値を求めよ。