一橋大学 2011年 文系 第4問 問題

$a,b,c$ を正の定数とする。空間内に $3$ 点 $A(a,0,0),\ B(0,b,0),\ C(0,0,c)$ がある。

(1) 辺 $AB$ を底辺とするとき，$\triangle ABC$ の高さを $a,b,c$ で表せ。

(2) $\triangle ABC,\ \triangle OAB,\ \triangle OBC,\ \triangle OCA$ の面積をそれぞれ $S,S_1,S_2,S_3$ とする。ただし，$O$ は原点である。このとき，不等式

$\sqrt{3}S\geqq S_1+S_2+S_3$

が成り立つことを示せ。

(3) (2) の不等式において等号が成り立つための条件を求めよ。