一橋大学 2013年 文系 第3問 問題

原点を $O$ とする $xy$ 平面上に，放物線 $C:y=1-x^2$ がある。$C$ 上に $2$ 点 $P(p,1-p^2),\ Q(q,1-q^2)$ を $p<q$ となるようにとる。

(1) $2$ つの線分 $OP,OQ$ と放物線 $C$ で囲まれた部分の面積 $S$ を，$p$ と $q$ の式で表せ。

(2) $q=p+1$ であるとき $S$ の最小値を求めよ。

(3) $pq=-1$ であるとき $S$ の最小値を求めよ。