一橋大学 2014年 文系 第3問 問題

円 $C:x^2+y^2=1$ 上の点 $P$ における接線を $l$ とする。点 $(1,0)$ を通り $l$ と平行な直線を $m$ とする。

直線 $m$ と円 $C$ の $(1,0)$ 以外の共有点を $P'$ とする。ただし，$m$ が直線 $x=1$ のときは $P'$ を $(1,0)$ とする。

円 $C$ 上の点 $P(s,t)$ から点 $P'(s',t')$ を得る上記の操作を $T$ と呼ぶ。

(1) $s',t'$ をそれぞれ $s$ と $t$ の多項式として表せ。

(2) 点 $P$ に操作 $T$ を $n$ 回繰り返して得られる点を $P_n$ とおく。$P$ が $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right)$ のとき，$P_1,P_2,P_3$ を図示せよ。

(3) 正の整数 $n$ について，$P_n=P$ となるような点 $P$ の個数を求めよ。