数学1 関数 問題 6 解説

方針・初手

与えられた関数の性質から、$f(x)$ の正体を明らかにしていく。性質 (ア) は $f(x)$ が偶関数（$y$ 軸対称）であることを示し、性質 (イ) は $f(x)$ が周期 $2$ の周期関数であることを示している。まずは $0 \leqq x \leqq 1$ の式をもとにして、対称性から $-1 \leqq x \leqq 1$ の区間における $f(x)$ の式を決定する。その後、周期性を用いて $-3 \leqq x \leqq 3$ の範囲へ拡張してグラフの概形を捉える。(2) は平行移動、(3) は変数変換と拡大・縮小として処理する。

解法1

(1)

性質 (ア) $f(x) = f(-x)$ より、$f(x)$ は偶関数であり、そのグラフは $y$ 軸に関して対称である。

条件より $0 \leqq x \leqq 1$ において $f(x) = \sqrt{x}$ である。$-1 \leqq x \leqq 0$ のとき、$0 \leqq -x \leqq 1$ であるから、性質 (ア) を用いると

$$ f(x) = f(-x) = \sqrt{-x} $$

となる。これにより、$-1 \leqq x \leqq 1$ の範囲において $f(x)$ は $f(x) = \sqrt{|x|}$ と表せる。

次に、性質 (イ) $f(x) = f(x+2)$ より、$f(x)$ は周期 $2$ の周期関数である。したがって、$y = f(x)$ のグラフは、$-1 \leqq x \leqq 1$ の範囲のグラフを $x$ 軸方向に $2n$ ($n$ は整数) だけ平行移動したものになる。

$-3 \leqq x \leqq 3$ の範囲においてグラフを考えると、点 $(-3,1)$、 $(-2,0)$、 $(-1,1)$、 $(0,0)$、 $(1,1)$、 $(2,0)$、 $(3,1)$ を結ぶ連続した曲線となる。各区間において、グラフは上に凸の無理関数の曲線である。

(2)

関数 $y = f(x-1)$ のグラフは、(1) で求めた $y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $+1$ だけ平行移動したものである。

したがって、$-3 \leqq x \leqq 3$ の範囲において、点 $(-3,0)$、 $(-2,1)$、 $(-1,0)$、 $(0,1)$、 $(1,0)$、 $(2,1)$、 $(3,0)$ を結ぶ連続した曲線となる。各区間において、グラフは上に凸の無理関数の曲線である。

(3)

$-3 \leqq x \leqq 3$ の範囲を考える。このとき、$\frac{x}{3}$ のとりうる値の範囲は

$$ -1 \leqq \frac{x}{3} \leqq 1 $$

である。

(1) での考察より、$-1 \leqq X \leqq 1$ において $f(X) = \sqrt{|X|}$ であるから、$X = \frac{x}{3}$ とすると

$$ f\left(\frac{x}{3}\right) = \sqrt{\left|\frac{x}{3}\right|} $$

となる。したがって、求める関数の式は

$$ y = \sqrt{3} f\left(\frac{x}{3}\right) = \sqrt{3} \sqrt{\left|\frac{x}{3}\right|} = \sqrt{3 \cdot \frac{|x|}{3}} = \sqrt{|x|} $$

と整理できる。

よってグラフは、原点 $(0,0)$ を最小点とし、$y$ 軸に関して対称な曲線である。右側は $(3, \sqrt{3})$ まで、左側は $(-3, \sqrt{3})$ まで伸びる上に凸の連続した曲線となる。

解説

関数の偶奇性（対称性）と周期性の定義式を活用し、部分的な定義域から全体のグラフを構成する典型問題である。周期関数のグラフを描く際は、1周期分の基本となる形を正確に把握することが重要である。また、グラフの描写を求められているため、極値をとる頂点の座標や $x$ 軸との交点、曲線の凸の向き（ここでは上に凸）を明瞭に示す必要がある。

答え

• (1) グラフは、点 $(-3,1)$、 $(-2,0)$、 $(-1,1)$、 $(0,0)$、 $(1,1)$、 $(2,0)$、 $(3,1)$ を通る、各区間で上に凸の連続曲線。
• (2) グラフは、点 $(-3,0)$、 $(-2,1)$、 $(-1,0)$、 $(0,1)$、 $(1,0)$、 $(2,1)$、 $(3,0)$ を通る、各区間で上に凸の連続曲線。
• (3) グラフは、$y = \sqrt{|x|}$ であり、原点 $(0,0)$ を最小点とし、点 $(-3, \sqrt{3})$ および $(3, \sqrt{3})$ を通る、上に凸の連続曲線。