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数学1 関数問題 5 解説

方針・初手

4次関数 $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ のグラフが $y$軸に平行な直線 $x = p$ に関して対称であるための条件を考える。

この条件は、関数 $f(x)$ を $x$軸方向に $-p$ 平行移動した関数 $g(x) = f(x+p)$ のグラフが $y$軸に関して対称、すなわち $g(x)$ が偶関数になることと言い換えることができる。多項式関数が偶関数であるための必要十分条件は、奇数次の項の係数がすべて $0$ になることである。

解法1

$f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ とする。

グラフが直線 $x = p$ に関して対称であると仮定する。このとき、$g(x) = f(x+p)$ とおくと、$g(x)$ は偶関数となる。

$g(x)$ を展開して $x$ の降べきの順に整理する。

$$ g(x) = (x+p)^4 + a(x+p)^3 + b(x+p)^2 + c(x+p) + d $$

$$ = (x^4 + 4px^3 + 6p^2x^2 + 4p^3x + p^4) + a(x^3 + 3px^2 + 3p^2x + p^3) + b(x^2 + 2px + p^2) + cx + cp + d $$

$$ = x^4 + (4p + a)x^3 + (6p^2 + 3ap + b)x^2 + (4p^3 + 3ap^2 + 2bp + c)x + (p^4 + ap^3 + bp^2 + cp + d) $$

$g(x)$ が偶関数であるためには、すべての実数 $x$ において $g(-x) = g(x)$ が成り立つ必要がある。これは、$g(x)$ の奇数次（3次および1次）の項の係数がともに $0$ となることと同値である。

$$ 4p + a = 0 \quad \cdots (1) $$

$$ 4p^3 + 3ap^2 + 2bp + c = 0 \quad \cdots (2) $$

(1) より、対称軸は $p = -\frac{a}{4}$ と一つに定まる。これを (2) に代入する。

$$ 4\left(-\frac{a}{4}\right)^3 + 3a\left(-\frac{a}{4}\right)^2 + 2b\left(-\frac{a}{4}\right) + c = 0 $$

$$ -\frac{a^3}{16} + \frac{3a^3}{16} - \frac{ab}{2} + c = 0 $$

$$ \frac{a^3}{8} - \frac{ab}{2} + c = 0 $$

両辺を $8$ 倍して整理する。

$$ a^3 - 4ab + 8c = 0 $$

このとき、$x$ の3次と1次の係数がともに $0$ となるような実数 $p$ が確かに存在し、$y$軸に平行な直線（$x = -\frac{a}{4}$）に関して対称となる。なお、定数項 $d$ は対称性に影響を与えないため、任意の定数でよい。

解法2

$f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ とする。

グラフが直線 $x = p$ に関して対称であるための必要十分条件は、すべての実数 $x$ に対して以下の恒等式が成り立つことである。

$$ f(p+x) = f(p-x) \quad \cdots (3) $$

$x$ についての両辺を微分すると、合成関数の微分法より以下のようになる。

$$ f'(p+x) = -f'(p-x) $$

$$ f''(p+x) = f''(p-x) $$

$$ f'''(p+x) = -f'''(p-x) \quad \cdots (4) $$

ここで、$f(x)$ の導関数を計算する。

$$ f'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx + c $$

$$ f''(x) = 12x^2 + 6ax + 2b $$

$$ f'''(x) = 24x + 6a $$

(4) に $f'''(x)$ を代入する。

$$ 24(p+x) + 6a = - \{24(p-x) + 6a\} $$

$$ 24p + 24x + 6a = -24p + 24x - 6a $$

$$ 48p = -12a $$

$$ p = -\frac{a}{4} $$

また、(3) の両辺を $x$ で微分した式 $f'(p+x) = -f'(p-x)$ において、$x=0$ を代入すると、

$$ f'(p) = -f'(p) $$

$$ 2f'(p) = 0 $$

$$ f'(p) = 0 $$

が得られる。$p = -\frac{a}{4}$ を $f'(x)$ に代入して $0$ になる条件を求める。

$$ f'\left(-\frac{a}{4}\right) = 4\left(-\frac{a}{4}\right)^3 + 3a\left(-\frac{a}{4}\right)^2 + 2b\left(-\frac{a}{4}\right) + c = 0 $$

$$ -\frac{a^3}{16} + \frac{3a^3}{16} - \frac{ab}{2} + c = 0 $$

$$ \frac{a^3}{8} - \frac{ab}{2} + c = 0 $$

$$ a^3 - 4ab + 8c = 0 $$

逆にこの条件が成り立つとき、$f'\left(-\frac{a}{4}\right) = 0$ かつ $f'''\left(-\frac{a}{4}\right) = 0$ となり、テイラー展開などを考えれば $x = -\frac{a}{4}$ の周りの奇数次導関数がすべて $0$ となるため、対称性が保証される。