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数学1 二次関数問題 6 解説

方針・初手

放物線と直線の共有点に関する問題である。方程式から $y$ を消去した2次方程式の実数解が、共有点の $x$ 座標となる。 (ア) は、2次方程式が重解をもつ条件（判別式 $D=0$）から $k$ を求める。 (イ) は、2次方程式の解を文字でおき、解と係数の関係を用いて交点の $x$ 座標の差を表現する。あるいは、直線の傾きを利用して線分の長さを表し、方程式を立てる。

解法1

(ア)

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=3x-k$ の方程式から $y$ を消去して整理すると、

$$ x^2 - 3x + k = 0 \cdots \text{①} $$

直線が放物線に接するための条件は、2次方程式①が重解をもつことである。 ①の判別式を $D$ とすると、$D = 0$ となればよい。

$$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot k = 9 - 4k = 0 $$

よって、

$$ k = \frac{9}{4} $$

である。

(イ)

放物線と直線が2点で交わるので、①は異なる2つの実数解をもつ。よって、$D = 9 - 4k > 0$ すなわち $k < \frac{9}{4}$ である。

①の2つの実数解を $\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ とすると、解と係数の関係から、

$$ \alpha + \beta = 3, \quad \alpha\beta = k $$

このとき、2つの交点の座標は $(\alpha, 3\alpha-k), (\beta, 3\beta-k)$ と表せる。 2点間の距離が $6$ であるから、

$$ \sqrt{(\beta - \alpha)^2 + (3\beta - k - (3\alpha - k))^2} = 6 $$

両辺を2乗して整理すると、

$$ (\beta - \alpha)^2 + 9(\beta - \alpha)^2 = 36 $$

$$ 10(\beta - \alpha)^2 = 36 $$

ここで、$(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = 3^2 - 4k = 9 - 4k$ であるから、

$$ 10(9 - 4k) = 36 $$

$$ 90 - 40k = 36 $$

$$ 40k = 54 $$

$$ k = \frac{27}{20} $$

これは $k < \frac{9}{4}$ を満たす。

解法2

(イ) の別解（直線の傾きと解の公式を利用）

放物線と直線の交点の $x$ 座標は、2次方程式 $x^2 - 3x + k = 0$ の実数解である。交点が2つ存在するためには $9 - 4k > 0$ が必要であり、このとき解の公式より、

$$ x = \frac{3 \pm \sqrt{9-4k}}{2} $$

交点の $x$ 座標の差を $d$ とおくと、

$$ d = \frac{3 + \sqrt{9-4k}}{2} - \frac{3 - \sqrt{9-4k}}{2} = \sqrt{9-4k} $$

直線 $y=3x-k$ は傾きが $3$ であるから、その直線上にある2点間の距離は、$x$ 座標の差 $d$ を用いて $\sqrt{1^2 + 3^2}d = \sqrt{10}d$ と表せる。これが $6$ に等しいので、

$$ \sqrt{10} \sqrt{9-4k} = 6 $$

両辺は正であるから、2乗して整理すると、

$$ 10(9 - 4k) = 36 $$

$$ 9 - 4k = \frac{18}{5} $$

$$ 4k = 9 - \frac{18}{5} = \frac{27}{5} $$

$$ k = \frac{27}{20} $$

解説

放物線と直線の共有点の問題における基本事項を確認する問題である。直線の傾きが $m$ であるとき、直線上の2点間の距離は、$x$ 座標の差を $\Delta x$ とすると $\sqrt{1+m^2}|\Delta x|$ と簡潔に表せる。この図形的な性質を知っていると、交点の $y$ 座標を文字で書き下す手間が省け、計算量を大きく減らすことができる。 (イ) では、前提として2点で交わるための条件（判別式 $D>0$）を満たすことの確認を忘れないようにしたい。