数学1 二次関数 問題 7 解説

方針・初手

放物線と $x$ 軸の共有点の個数は、2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の実数解の個数と一致するため、判別式 $D$ の符号を調べるのが基本である。与えられた条件 $a+b+c=0$ を用いて文字を減らし、$D$ の符号を判定する。 また、$f(x)=ax^2+bx+c$ とおいたとき、$f(1)=a+b+c=0$ となることから、$x=1$ を必ず解にもつことに着目してもよい。

解法1

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の判別式を $D$ とすると、

$$ D = b^2 - 4ac $$

条件より $a+b+c=0$ であるから、$b = -(a+c)$ と変形できる。これを $D$ に代入すると、

$$ \begin{aligned} D &= \{-(a+c)\}^2 - 4ac \\ &= (a+c)^2 - 4ac \\ &= a^2 + 2ac + c^2 - 4ac \\ &= a^2 - 2ac + c^2 \\ &= (a-c)^2 \end{aligned} $$

$a, c$ は実数であるから、常に $(a-c)^2 \geqq 0$、すなわち $D \geqq 0$ が成り立つ。 共有点の個数は $D$ の符号によって決まるため、以下の2つの場合に分けられる。

(i) $D > 0$ すなわち $a \neq c$ のとき 共有点は2個である。

(ii) $D = 0$ すなわち $a = c$ のとき 共有点は1個である。

解法2

$f(x)=ax^2+bx+c$ とおく。

条件より $a+b+c=0$ であるから、$f(1) = 0$ が成り立つ。 したがって、放物線 $y = f(x)$ は点 $(1, 0)$ を通り、$x$ 軸と少なくとも1つの共有点をもつことがわかる。

$f(x) = 0$ とすると、$a+b+c=0 \iff c = -a-b$ より、

$$ \begin{aligned} ax^2+bx-a-b &= 0 \\ a(x^2-1) + b(x-1) &= 0 \\ a(x-1)(x+1) + b(x-1) &= 0 \\ (x-1)\{a(x+1)+b\} &= 0 \\ (x-1)(ax+a+b) &= 0 \end{aligned} $$

$a \neq 0$ より、この方程式の解は $x=1$ および $x = -\frac{a+b}{a}$ である。

共有点の個数は、これら2つの解が一致するかどうかで決まる。

(i) $1 \neq -\frac{a+b}{a}$ のとき すなわち $a \neq -(a+b) \iff 2a+b \neq 0$ のとき、共有点は2個である。 $a+b+c=0$ を用いて $b = -(a+c)$ を代入すると、$2a-(a+c) \neq 0 \iff a \neq c$ となる。

(ii) $1 = -\frac{a+b}{a}$ のとき すなわち $a = -(a+b) \iff 2a+b = 0$ のとき、重解をもつので共有点は1個である。 同様に $b = -(a+c)$ を代入すると、$2a-(a+c) = 0 \iff a = c$ となる。

解説

条件 $a+b+c=0$ が与えられたときの2次方程式の扱いの基本を問う問題である。 解法1のように判別式に代入することで、自然と完全平方式が現れ、符号の判定が可能となる。 一方で、解法2のように $x=1$ を代入すると $a+b+c$ になることに気づけば、方程式が自明な解 $x=1$ をもつことがわかり、因数分解によってもう一つの解も容易に求められる。 いずれの解法においても、パラメータの値（今回は $a$ と $c$ の関係）によって共有点の個数が1個または2個に変化するため、場合分けをして答える必要がある点に注意したい。

答え

$a \neq c$ のとき、2個

$a = c$ のとき、1個